Задача 1
Условие (кратко)
При каких значениях n члены последовательности xₙ = (n + 4)(n − 5) удовлетворяют условию −18 ≤ xₙ ≤ 360? (повышенной трудности)
Решение
Идея: двойное неравенство — это система двух квадратных неравенств относительно натурального \(n\).
\(x_n = (n + 4)(n - 5) = n^2 - n - 20\).
- \(n^2 - n - 20 \ge -18 \;\Leftrightarrow\; n^2 - n - 2 \ge 0 \;\Leftrightarrow\; (n - 2)(n + 1) \ge 0\). Для натуральных \(n\) (там \(n + 1 > 0\)) это \(n \ge 2\).
- \(n^2 - n - 20 \le 360 \;\Leftrightarrow\; n^2 - n - 380 \le 0 \;\Leftrightarrow\; (n - 20)(n + 19) \le 0\), то есть \(-19 \le n \le 20\); для натуральных \(n \le 20\).
- Оба условия: \(2 \le n \le 20\).
Проверка границ: \(x_2 = 6 \cdot (-3) = -18\), \(x_{20} = 24 \cdot 15 = 360\); \(x_1 = 5 \cdot (-4) = -20 < -18\), \(x_{21} = 25 \cdot 16 = 400 > 360\).
Ответ
2 ≤ n ≤ 20 (n — натуральное)
Почему так
Двойное неравенство записываем системой двух квадратных неравенств и учитываем, что номер n натуральный.
Подробнее — в теме «Последовательности».