Задача 1
Условие (кратко)
Найдите сумму первых n членов последовательности xₙ = 1/((2n − 1)(2n + 1)). (повышенной трудности)
Решение
Идея: разложить каждый член в разность двух дробей — тогда при сложении почти всё сократится («телескопическая» сумма).
- \(\dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1} = \dfrac{(2k + 1) - (2k - 1)}{(2k - 1)(2k + 1)} = \dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}\), поэтому
\[x_k = \dfrac12\left(\dfrac{1}{2k - 1} - \dfrac{1}{2k + 1}\right).\]
- Сложим:
\[S_n = \dfrac12\left(1 - \dfrac13 + \dfrac13 - \dfrac15 + \dots + \dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1}\right) = \dfrac12\left(1 - \dfrac{1}{2n + 1}\right).\]
- \(S_n = \dfrac12 \cdot \dfrac{2n}{2n + 1} = \dfrac{n}{2n + 1}\).
Проверка при \(n = 3\): \(\dfrac13 + \dfrac1{15} + \dfrac1{35} = \dfrac{35 + 7 + 3}{105} = \dfrac{45}{105} = \dfrac37 = \dfrac{3}{2 \cdot 3 + 1}\).
Ответ
Sₙ = n/(2n + 1)
Почему так
Каждый член — половина разности соседних дробей 1/(2k − 1) и 1/(2k + 1), поэтому сумма телескопическая.
Подробнее — в теме «Последовательности».