Задача 1
Условие (кратко)
В последовательности (xₙ) каждый член с нечётным номером равен 2a, а с чётным — 2b. Напишите формулу n-го члена. (повышенной трудности)
Решение
Идея: множитель \((-1)^n\) равен \(-1\) при нечётном \(n\) и \(1\) при чётном — он «переключает» значение.
Ищем формулу вида \(x_n = p + (-1)^n r\):
- при нечётном \(n\): \(p - r = 2a\);
- при чётном \(n\): \(p + r = 2b\).
Отсюда \(p = a + b\), \(r = b - a\):
\[x_n = a + b + (-1)^n (b - a).\]
Проверка: \(n = 1\) — \(a + b - b + a = 2a\); \(n = 2\) — \(a + b + b - a = 2b\).
Возможны и другие верные записи, например \(x_n = a\bigl(1 - (-1)^n\bigr) + b\bigl(1 + (-1)^n\bigr)\).
Ответ
xₙ = a + b + (−1)ⁿ(b − a)
Почему так
Знак (−1)ⁿ чередуется с номером, поэтому формула a + b ± (b − a) даёт 2a и 2b попеременно.
Подробнее — в теме «Последовательности».