Задача 1
Условие (кратко)
a₁, a₂, … — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых n членов последовательности xₙ = 1/(√aₙ + √aₙ₊₁) равна n/(√a₁ + √aₙ₊₁). (повышенной трудности)
Решение
Идея: избавиться от иррациональности в знаменателе — сумма станет телескопической.
Пусть \(d\) — разность прогрессии.
Случай \(d \ne 0\). Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}\):
\[x_k = \dfrac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k} = \dfrac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}.\]
Сложим \(x_1 + x_2 + \dots + x_n\) — промежуточные корни сокращаются:
\[S_n = \dfrac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}}{d}.\]
Снова домножим на сопряжённое \(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1}\) и учтём \(a_{n+1} - a_1 = nd\):
\[S_n = \dfrac{a_{n+1} - a_1}{d\left(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}\right)} = \dfrac{nd}{d\left(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}\right)} = \dfrac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}.\]
Случай \(d = 0\). Все члены равны \(a_1\), каждое слагаемое равно \(\dfrac{1}{2\sqrt{a_1}}\), сумма \(\dfrac{n}{2\sqrt{a_1}} = \dfrac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}\).
Что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано: xₖ = (√aₖ₊₁ − √aₖ)/d, сумма равна (√aₙ₊₁ − √a₁)/d = n/(√a₁ + √aₙ₊₁)
Почему так
Домножение на сопряжённое выражение превращает сумму в телескопическую, а aₙ₊₁ − a₁ = nd.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».