Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что при любом натуральном n > 1 верно неравенство 1/2 < ⁿ√((1·3·5·…·(2n − 1))/(2·4·6·…·2n)) < 1. (повышенной трудности)
Решение
Идея: оценить каждый множитель произведения \(\dfrac{2k - 1}{2k}\) сверху числом 1 и снизу числом \(\dfrac12\).
Обозначим \(P = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n} = \dfrac12 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac56 \cdot \ldots \cdot \dfrac{2n - 1}{2n}\) — произведение \(n\) множителей.
- Каждый множитель \(\dfrac{2k - 1}{2k} < 1\), поэтому \(P < 1\).
- Каждый множитель \(\dfrac{2k - 1}{2k} \ge \dfrac12\), так как \(2(2k - 1) \ge 2k \Leftrightarrow k \ge 1\); при \(k \ge 2\) неравенство строгое. Так как \(n > 1\), есть множитель \(\dfrac34 > \dfrac12\), поэтому \(P > \left(\dfrac12\right)^n\).
- Итак, \(\left(\dfrac12\right)^n < P < 1\). Функция \(y = \sqrt[n]{t}\) при \(t > 0\) возрастает, поэтому, извлекая корень \(n\)-й степени:
\[\dfrac12 < \sqrt[n]{P} < 1,\]что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано: каждый множитель (2k − 1)/(2k) не меньше 1/2 и меньше 1, поэтому (1/2)ⁿ < P < 1
Почему так
Произведение оценивается почленно, а корень n-й степени сохраняет знак неравенства между положительными числами.
Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».