Задание 876

Идея: подкоренные выражения — кубы чисел вида \(\sqrt2 \pm 1\).

\((\sqrt2 + 1)^3 = 2\sqrt2 + 3 \cdot 2 \cdot 1 + 3\sqrt2 \cdot 1 + 1 = 5\sqrt2 + 7\),

\((\sqrt2 - 1)^3 = 2\sqrt2 - 6 + 3\sqrt2 - 1 = 5\sqrt2 - 7\).

Поэтому

Другой путь: \(u = \sqrt[3]{5\sqrt2 + 7}\), \(v = \sqrt[3]{5\sqrt2 - 7}\), \(uv = \sqrt[3]{50 - 49} = 1\), \(u^3 - v^3 = 14\). Для \(t = u - v\): \(t^3 = u^3 - v^3 - 3uv(u - v) = 14 - 3t\), то есть \(t^3 + 3t - 14 = (t - 2)(t^2 + 2t + 7) = 0\), и единственный действительный корень \(t = 2\).

Идея: подкоренные выражения — кубы чисел \(\dfrac{1 \pm \sqrt5}{2}\).

\(\left(\dfrac{1 + \sqrt5}{2}\right)^3 = \dfrac{1 + 3\sqrt5 + 3 \cdot 5 + 5\sqrt5}{8} = \dfrac{16 + 8\sqrt5}{8} = 2 + \sqrt5\),

аналогично \(\left(\dfrac{1 - \sqrt5}{2}\right)^3 = 2 - \sqrt5\). Кубический корень из отрицательного числа определён, поэтому

Другой путь: \(u = \sqrt[3]{2 + \sqrt5}\), \(v = \sqrt[3]{2 - \sqrt5}\), \(uv = \sqrt[3]{4 - 5} = -1\), \(u^3 + v^3 = 4\). Для \(t = u + v\): \(t^3 = 4 + 3uv \cdot t = 4 - 3t\), \(t^3 + 3t - 4 = (t - 1)(t^2 + t + 4) = 0\), откуда \(t = 1\).