Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если x² + y² + z² = xy + yz + zx, то x = y = z. (повышенной трудности)
Решение
Идея: удвоенная разность левой и правой частей — сумма трёх квадратов.
Перенесём всё в одну часть и умножим на 2:
\[2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0.\]
Сгруппируем:
\[(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0.\]
Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, только если каждое равно нулю: \(x - y = 0\), \(y - z = 0\). Значит, \(x = y = z\), что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано: условие равносильно (x − y)² + (y − z)² + (z − x)² = 0, откуда x = y = z
Почему так
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».