Задача 1
Условие (кратко)
Решите уравнение с двумя переменными x² + 2√3x + y − 4√y + 7 = 0. (повышенной трудности)
Решение
Идея: выделить полные квадраты по \(x\) и по \(\sqrt y\).
Область определения: \(y \ge 0\), тогда \(y = (\sqrt y)^2\). Число 7 разобьём как \(3 + 4\):
\[(x^2 + 2\sqrt3 x + 3) + \bigl((\sqrt y)^2 - 4\sqrt y + 4\bigr) = 0,\]
\[(x + \sqrt3)^2 + (\sqrt y - 2)^2 = 0.\]
Сумма квадратов равна нулю, только если оба равны нулю: \(x + \sqrt3 = 0\), \(\sqrt y = 2\). Отсюда \(x = -\sqrt3\), \(y = 4\).
Проверка: \(3 - 6 + 4 - 8 + 7 = 0\).
Ответ
x = −√3, y = 4
Почему так
Выделение полных квадратов сводит уравнение к сумме двух квадратов, равной нулю.
Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».