Задача 1
Условие (кратко)
Решите систему уравнений: x² + y² − 2z² = 0, x + y + z = 8, xy = −z². (повышенной трудности)
Решение
Идея: из первого и третьего уравнений найти \((x + y)^2\).
- \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 2z^2 + 2 \cdot (-z^2) = 0\), значит, \(x + y = 0\).
- Из второго уравнения \(z = 8 - (x + y) = 8\).
- Тогда \(xy = -64\) и \(y = -x\): \(-x^2 = -64\), \(x = \pm 8\).
- Решения: \(x = 8\), \(y = -8\), \(z = 8\) и \(x = -8\), \(y = 8\), \(z = 8\).
Проверка: \(64 + 64 - 2 \cdot 64 = 0\); \(8 - 8 + 8 = 8\); \(8 \cdot (-8) = -64 = -8^2\).
Ответ
x₁ = 8, y₁ = −8, z₁ = 8; x₂ = −8, y₂ = 8, z₂ = 8
Почему так
Квадрат суммы x + y выражается через первое и третье уравнения и оказывается равным нулю.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».