Задача 1
Условие (кратко)
Решите в натуральных числах систему уравнений: x + y + z = 14, x + yz = 19. (повышенной трудности)
Решение
Идея: исключить \(x\) и разложить на множители: \(yz - y - z + 1 = (y - 1)(z - 1)\).
- Вычтем из второго уравнения первое: \(yz - y - z = 5\), то есть \(yz - y - z + 1 = 6\), \((y - 1)(z - 1) = 6\).
- \(y - 1\) и \(z - 1\) — целые неотрицательные числа с произведением 6: \(1 \cdot 6\), \(6 \cdot 1\), \(2 \cdot 3\), \(3 \cdot 2\).
- Отсюда \((y; z)\): \((2; 7)\), \((7; 2)\), \((3; 4)\), \((4; 3)\), и \(x = 14 - y - z\): \(5\), \(5\), \(7\), \(7\) — натуральные.
Решения: \((5; 2; 7)\), \((5; 7; 2)\), \((7; 3; 4)\), \((7; 4; 3)\). Проверка, например, \((7; 3; 4)\): \(7 + 3 + 4 = 14\), \(7 + 12 = 19\).
Ответ
x₁ = 5, y₁ = 7, z₁ = 2; x₂ = 7, y₂ = 3, z₂ = 4; x₃ = 7, y₃ = 4, z₃ = 3; x₄ = 5, y₄ = 2, z₄ = 7
Почему так
После исключения x получаем (y − 1)(z − 1) = 6 и перебираем разложения 6 на множители.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».