Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при положительных a, b, c верно (a² + a + 1)(b² + b + 1)(c² + c + 1) / (abc) ≥ 27. (повышенной трудности)
Решение
Идея: разбить дробь на три одинаковых множителя и оценить каждый отдельно.
\[\frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc} = \frac{a^2+a+1}{a}\cdot\frac{b^2+b+1}{b}\cdot\frac{c^2+c+1}{c}.\]
Оценим первый множитель. При \(a > 0\):
\[\frac{a^2+a+1}{a} - 3 = \frac{a^2 - 2a + 1}{a} = \frac{(a-1)^2}{a} \ge 0,\]
так как числитель — квадрат, а знаменатель положителен. Значит, \(\dfrac{a^2+a+1}{a} \ge 3\) (иначе: \(a + \dfrac{1}{a} \ge 2\), поэтому \(a + 1 + \dfrac{1}{a} \ge 3\)).
Так же \(\dfrac{b^2+b+1}{b} \ge 3\) и \(\dfrac{c^2+c+1}{c} \ge 3\). Перемножаем три неравенства с положительными частями:
\[\frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc} \ge 3\cdot 3\cdot 3 = 27.\]
Равенство — только при \(a = b = c = 1\). Что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано; равенство при a = b = c = 1
Почему так
Каждый множитель (a² + a + 1)/a = a + 1/a + 1 не меньше 3, потому что разность с 3 равна (a − 1)²/a ≥ 0.
Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».