Задача 1
Условие (кратко)
Найти при любом натуральном n значение ∛((1·2·4 + 2·4·8 + … + n·2n·4n) / (1·3·9 + 2·6·18 + … + n·3n·9n)). (повышенной трудности)
Решение
Идея: вынести общий множитель из каждого слагаемого.
Слагаемое числителя с номером \(k\) равно \(k\cdot 2k\cdot 4k = 8k^3\). Слагаемое знаменателя равно \(k\cdot 3k\cdot 9k = 27k^3\). Поэтому
\[\frac{1\cdot2\cdot4 + \dots + n\cdot 2n\cdot 4n}{1\cdot3\cdot9 + \dots + n\cdot 3n\cdot 9n} = \frac{8(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)}{27(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)} = \frac{8}{27}.\]
Сумма кубов положительна, на неё можно сократить. Значение не зависит от \(n\):
\[\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}.\]
Ответ
2/3
Почему так
Каждое слагаемое числителя равно 8k³, знаменателя — 27k³, поэтому дробь равна 8/27 при любом n.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».