Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что (5 + 10ⁿ⁺¹)(1 + 10 + … + 10ⁿ) + 1 при любом натуральном n — квадрат натурального числа. (повышенной трудности)
Решение
Идея: свернуть сумму по формуле геометрической прогрессии и обозначить \(t = 10^{n+1}\).
\(1 + 10 + \dots + 10^n\) — сумма \(n + 1\) членов геометрической прогрессии с \(b_1 = 1\), \(q = 10\):
\[1 + 10 + \dots + 10^n = \frac{10^{n+1} - 1}{9} = \frac{t - 1}{9}.\]
Тогда
\[(5 + t)\cdot\frac{t-1}{9} + 1 = \frac{t^2 + 4t - 5 + 9}{9} = \frac{t^2 + 4t + 4}{9} = \left(\frac{t+2}{3}\right)^2.\]
Осталось проверить, что \(\dfrac{t+2}{3} = \dfrac{10^{n+1} + 2}{3}\) — натуральное число. Запись числа \(10^{n+1} + 2\) — это \(100\ldots02\), сумма цифр \(1 + 2 = 3\), значит, оно делится на 3.
Итак, выражение равно \(\left(\dfrac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2 = (33\ldots34)^2\) — квадрату натурального числа. Например, при \(n = 1\) получаем \(105\cdot 11 + 1 = 1156 = 34^2\). Что и требовалось доказать.
Ответ
Выражение равно ((10ⁿ⁺¹ + 2)/3)² = 33…34²
Почему так
Сумма 1 + 10 + … + 10ⁿ = (10ⁿ⁺¹ − 1)/9, после подстановки t = 10ⁿ⁺¹ получается полный квадрат ((t + 2)/3)².
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».