Задача 1
Условие (кратко)
Найти наименьшее четырёхзначное число, которое после умножения на 21 станет квадратом натурального числа. (повышенной трудности)
Решение
Идея: в квадрате каждый простой множитель входит в чётной степени.
Пусть \(21x = k^2\). Так как \(21 = 3\cdot 7\), а в разложении квадрата 3 и 7 должны входить в чётных степенях, число \(x\) делится и на 3, и на 7, то есть \(x = 21m\). Тогда \(21x = 21^2 m\) — квадрат, только если \(m\) — квадрат: \(m = p^2\), \(x = 21p^2\).
Ищем наименьшее \(p\), при котором \(21p^2 \ge 1000\): \(p^2 \ge 47{,}6\ldots\), значит \(p = 7\) (\(6^2 = 36\) мало).
\[x = 21\cdot 49 = 1029,\qquad 21\cdot 1029 = 21609 = 147^2.\]
Ответ
1029
Почему так
Число вида 21x — квадрат только при x = 21p²; наименьшее четырёхзначное такое число 21 · 7² = 1029.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».