Задача 1
Условие (кратко)
Трёхзначное число x, кратное 5, равно сумме куба и квадрата одного и того же натурального числа. Найти x. (повышенной трудности)
Решение
Идея: \(x = n^3 + n^2 = n^2(n + 1)\), переберём немногие подходящие \(n\).
Трёхзначным \(x\) бывает при \(n = 5, 6, 7, 8, 9\) (\(n = 4\) даёт \(80\), \(n = 10\) даёт \(1100\)):
\[5^2\cdot 6 = 150,\quad 6^2\cdot 7 = 252,\quad 7^2\cdot 8 = 392,\quad 8^2\cdot 9 = 576,\quad 9^2\cdot 10 = 810.\]
Кратны 5 (оканчиваются на 0 или 5) только \(150\) и \(810\). Это и понятно: \(n^2(n+1)\) делится на 5, только если \(n\) или \(n + 1\) делится на 5.
Условию удовлетворяют два числа: \(150 = 5^3 + 5^2\) и \(810 = 9^3 + 9^2\).
Ответ
150 или 810
Почему так
Сумма куба и квадрата равна n²(n + 1); трёхзначна при n от 5 до 9, на 5 делится при n = 5 и n = 9.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».