Задача 1
Условие (кратко)
Два различных натуральных числа сложили, перемножили, из большего вычли меньшее и большее разделили на меньшее. Сумма четырёх результатов 441. Найти числа. (повышенной трудности)
Решение
Дано
- \(a > b\) — натуральные
Найти
- \(a\) и \(b\)
Сумма результатов:
\[(a + b) + ab + (a - b) + \frac{a}{b} = 441,\qquad 2a + ab + \frac{a}{b} = 441.\]
Первые два слагаемых — целые, значит, \(\dfrac{a}{b}\) тоже целое: \(a = kb\), где \(k \ge 2\) — натуральное. Подставим:
\[2kb + kb^2 + k = 441,\qquad k(b+1)^2 = 441 = 3^2\cdot 7^2.\]
\((b + 1)^2\) — квадрат-делитель числа 441, причём \(b + 1 \ge 2\): \(b + 1 = 3,\ 7\) или \(21\).
- \(b + 1 = 3\): \(b = 2\), \(k = 49\), \(a = 98\).
- \(b + 1 = 7\): \(b = 6\), \(k = 9\), \(a = 54\).
- \(b + 1 = 21\): \(b = 20\), \(k = 1\), \(a = 20 = b\) — числа не различны, не подходит.
Проверка: \(100 + 196 + 96 + 49 = 441\); \(60 + 324 + 48 + 9 = 441\).
Ответ
98 и 2 или 54 и 6
Почему так
После подстановки a = kb сумма свёртывается в k(b + 1)² = 441, остаётся перебрать квадраты-делители 441.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью уравнений».