Задача 1
Условие (кратко)
Найти два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45. (повышенной трудности)
Решение
Идея: разложить разность квадратов на множители и перебрать делители 45.
Пусть \(a > b\) — натуральные, \(a^2 - b^2 = 45\), то есть \((a - b)(a + b) = 45\). Оба множителя натуральные, \(a - b < a + b\), и они одной чётности (их сумма \(2a\) чётна) — у 45 все делители нечётные, это выполнено.
\[45 = 1\cdot 45 = 3\cdot 15 = 5\cdot 9.\]
- \(a - b = 1\), \(a + b = 45\): \(a = 23\), \(b = 22\).
- \(a - b = 3\), \(a + b = 15\): \(a = 9\), \(b = 6\).
- \(a - b = 5\), \(a + b = 9\): \(a = 7\), \(b = 2\).
Проверка: \(529 - 484 = 45\), \(81 - 36 = 45\), \(49 - 4 = 45\).
Ответ
23 и 22, 9 и 6 или 7 и 2
Почему так
Разность квадратов равна (a − b)(a + b); каждое разложение 45 на два множителя даёт пару чисел.
Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».