Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что нет натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец увеличилось бы в 5 раз. (повышенной трудности)
Решение
Идея: записать число как «первая цифра + хвост» и получить противоречие с размером хвоста.
Однозначное число от такой перестановки не меняется, а в 5 раз увеличиться не может. Пусть число имеет \(k + 1\) цифр, \(k \ge 1\): \(N = a\cdot 10^k + B\), где \(a\) — первая цифра (\(1 \le a \le 9\)), \(B\) — число из остальных \(k\) цифр, \(0 \le B < 10^k\). После перестановки получится \(10B + a\). Предположим, что
\[10B + a = 5(a\cdot 10^k + B).\]
Тогда \(5B = a(5\cdot 10^k - 1)\). Число \(5\cdot 10^k - 1\) оканчивается на 9 и на 5 не делится, поэтому на 5 делится \(a\), то есть \(a = 5\). Но тогда
\[B = 5\cdot 10^k - 1 \ge 10^k,\]
а хвост из \(k\) цифр меньше \(10^k\). Противоречие, значит, такого числа нет. Что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано: такого числа не существует
Почему так
Из условия хвост числа должен равняться 5 · 10ᵏ − 1, а это больше любого k-значного хвоста.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».