Задача 1
Условие (кратко)
Решить уравнение ∛((65 + x)²) + 4∛((65 − x)²) − 5∛(65² − x²) = 0. (повышенной трудности)
Решение
Идея: замена \(u = \sqrt[3]{65 + x}\), \(v = \sqrt[3]{65 - x}\) — уравнение становится однородным.
Так как \(65^2 - x^2 = (65 + x)(65 - x)\), то \(\sqrt[3]{65^2 - x^2} = uv\). Уравнение принимает вид
\[u^2 - 5uv + 4v^2 = 0,\qquad (u - v)(u - 4v) = 0.\]
-
\(u = v\): \(65 + x = 65 - x\), \(x = 0\).
-
\(u = 4v\): возводим в куб, \(65 + x = 64(65 - x)\), \(65x = 63\cdot 65\), \(x = 63\).
Проверка \(x = 63\): \(\sqrt[3]{128^2} + 4\sqrt[3]{2^2} - 5\sqrt[3]{256} = 16\sqrt[3]{4} + 4\sqrt[3]{4} - 20\sqrt[3]{4} = 0\).
Ответ
x₁ = 0, x₂ = 63
Почему так
После замены u = ∛(65 + x), v = ∛(65 − x) уравнение раскладывается: (u − v)(u − 4v) = 0.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».