Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 890

Задачи повышенной трудности

Задача 1

Условие (кратко)

а) Построить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству xy² < x. (повышенной трудности)

Решение

Перенесём всё влево и разложим: $$xy^2 - x < 0$$ , $$x(y^2 - 1) < 0$$ , $$x(y - 1)(y + 1) < 0$$ .

Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:

$$x > 0$$ и $$y^2 < 1$$ , то есть $$-1 < y < 1$$ — полуполоса правее оси $$y$$ между прямыми $$y = -1$$ и $$y = 1$$ ;
$$x < 0$$ и $$y^2 > 1$$ , то есть $$y > 1$$ или $$y < -1$$ — две части левой полуплоскости: выше прямой $$y = 1$$ и ниже прямой $$y = -1$$ .

Границы (ось $$y$$ , прямые $y = \pm 1$ ) не входят — неравенство строгое.

Ответ

{x > 0, −1 < y < 1} ∪ {x < 0, |y| > 1}; границы не входят

Почему так

Неравенство равносильно x(y² − 1) < 0: множители x и y² − 1 должны быть разных знаков.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Построить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y² − x²y + 2x² > 2y. (повышенной трудности)

Решение

Перенесём $$2y$$ и сгруппируем:

\[y^2 - 2y - x^2y + 2x^2 = y(y - 2) - x^2(y - 2) = (y - 2)(y - x^2) > 0.\]

Множители одного знака:

$$y > 2$$ и $$y > x^2$$ — точки выше прямой $$y = 2$$ и выше параболы $$y = x^2$$ ;
$$y < 2$$ и $$y < x^2$$ — точки ниже прямой $$y = 2$$ и ниже параболы $$y = x^2$$ .

Прямая $$y = 2$$ пересекает параболу в точках $(\pm\sqrt2;\ 2)$ . Множество: часть внутренности параболы над прямой $$y = 2$$ и часть внешности параболы под этой прямой. Границы не входят.

Ответ

{y > 2, y > x²} ∪ {y < 2, y < x²}; границы не входят

Почему так

Левая часть раскладывается: (y − 2)(y − x²) > 0, значит, точка лежит по одну сторону и от прямой y = 2, и от параболы.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Построить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству x³ + xy² − 4x ≤ 0. (повышенной трудности)

Решение

Вынесем $$x$$ : $x(x^2 + y^2 - 4) \le 0$ . Здесь $$x^2 + y^2 = 4$$ — окружность с центром $(0;\ 0)$ радиуса 2.

$x \ge 0$ и $x^2 + y^2 \le 4$ — правая половина круга радиуса 2 (вместе с границей);
$x \le 0$ и $x^2 + y^2 \ge 4$ — часть левой полуплоскости вне круга (вместе с окружностью);
при $$x = 0$$ произведение равно нулю — вся ось $$y$$ входит в множество.

Итак: правый полукруг, внешность круга в левой полуплоскости и ось $$y$$ ; граница входит.

Ответ

{x ≥ 0, x² + y² ≤ 4} ∪ {x ≤ 0, x² + y² ≥ 4} ∪ ось y

Почему так

Неравенство равносильно x(x² + y² − 4) ≤ 0: знак x и положение точки относительно окружности радиуса 2 должны быть противоположными.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Построить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству x²y + y³ − y ≥ 0. (повышенной трудности)

Решение

Вынесем $$y$$ : $y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$ . Здесь $$x^2 + y^2 = 1$$ — окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

$y \ge 0$ и $x^2 + y^2 \ge 1$ — верхняя полуплоскость вне единичного круга;
$y \le 0$ и $x^2 + y^2 \le 1$ — нижний полукруг радиуса 1;
при $$y = 0$$ произведение равно нулю — вся ось $$x$$ входит.

Граница (окружность, ось $$x$$ ) входит.

Ответ

{y ≥ 0, x² + y² ≥ 1} ∪ {y ≤ 0, x² + y² ≤ 1} ∪ ось x

Почему так

Неравенство равносильно y(x² + y² − 1) ≥ 0: множители y и x² + y² − 1 одного знака или один из них равен нулю.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/zadachi-povyshennoj-trudnosti/upr-890/