Задание 892

Неравенство имеет смысл при \(x \ne 0\). Функция \(y = \dfrac{10}{|x|}\) чётная: при \(x > 0\) это ветвь гиперболы \(y = \dfrac{10}{x}\) в I четверти, при \(x < 0\) — её отражение относительно оси \(y\) во II четверти. Точки графика: \((1;\ 10)\), \((2;\ 5)\), \((5;\ 2)\), \((10;\ 1)\) и симметричные им.

Решения — точки на этих ветвях и ниже их (в том числе вся нижняя полуплоскость и ось \(x\), кроме начала координат). Ось \(y\) (\(x = 0\)) не входит.

Неравенство имеет смысл при \(x \ne 0\) и равносильно \(y \ge -\dfrac{8}{|x|}\). График \(y = -\dfrac{8}{|x|}\) — две ветви в III и IV четвертях: при \(x > 0\) это \(y = -\dfrac{8}{x}\), при \(x < 0\) — её отражение относительно оси \(y\). Точки: \((1;\ -8)\), \((2;\ -4)\), \((4;\ -2)\), \((8;\ -1)\) и симметричные.

Решения — точки на этих ветвях и выше их (вся верхняя полуплоскость и ось \(x\) без начала координат тоже входят). Ось \(y\) не входит.

Перенесём: \(|y| \le x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\). Это равносильно двойному неравенству

Строим параболу \(y = (x - 1)^2\) (вершина \((1;\ 0)\), ветви вверх) и симметричную ей относительно оси \(x\) параболу \(y = -(x - 1)^2\) (ветви вниз). Они касаются в точке \((1;\ 0)\).

Множество — точки между этими параболами вместе с ними: две «воронки», слева и справа от прямой \(x = 1\), соединённые в точке \((1;\ 0)\).

Перенесём: \(|y| \ge -x^2 + 4x + 4 = 8 - (x - 2)^2\).

Рассмотрим параболу \(y = 8 - (x - 2)^2\) (вершина \((2;\ 8)\), ветви вниз, нули \(x = 2 \pm 2\sqrt2\)) и симметричную ей \(y = (x - 2)^2 - 8\) (вершина \((2;\ -8)\)). Они пересекаются в точках \((2 \pm 2\sqrt2;\ 0)\) и ограничивают «линзу» \(|y| < 8 - (x - 2)^2\).

Решения — все точки, кроме внутренности этой линзы: при \(|x - 2| \ge 2\sqrt2\) правая часть неположительна и подходит любое \(y\), при \(|x - 2| < 2\sqrt2\) — точки выше верхней параболы и ниже нижней. Границы входят.