Задача 1
Условие (кратко)
а) Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства x² + y² − 6|x| + 2y ≤ −1. (повышенной трудности)
Решение
Так как \(x^2 = |x|^2\), выделим полные квадраты:
\[(|x|^2 - 6|x| + 9) + (y^2 + 2y + 1) \le -1 + 9 + 1,\qquad (|x| - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 9.\]
При \(x \ge 0\) получаем \((x - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 9\) — круг с центром \((3;\ -1)\) радиуса 3. Он весь лежит в полуплоскости \(x \ge 0\) (центр на расстоянии 3 от оси \(y\)) и касается оси \(y\) в точке \((0;\ -1)\).
При \(x \le 0\) — симметричный круг с центром \((-3;\ -1)\) радиуса 3.
Множество — два равных круга радиуса 3, касающихся друг друга в точке \((0;\ -1)\), вместе с границей.
Ответ
Два круга радиуса 3 с центрами (3; −1) и (−3; −1), касающиеся в точке (0; −1)
Почему так
Выделение квадратов даёт (|x| − 3)² + (y + 1)² ≤ 9: круг при x ≥ 0 и его отражение относительно оси y.
Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».