Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Задачи повышенной трудности, задание 894

Условие (кратко)

Закрасить фигуру, заданную системой y − 4 ≤ x² − 4|x|, 4x − 3y ≤ −12, и охарактеризовать её аналитически. (повышенной трудности)

Решение

Первое неравенство: $y \le x^2 - 4|x| + 4 = (|x| - 2)^2$ — точки не выше кривой $$y = (|x| - 2)^2$$ . Это две параболы: при $x \ge 0$ — $$y = (x - 2)^2$$ с вершиной $(2;\ 0)$ , при $x \le 0$ — $$y = (x + 2)^2$$ с вершиной $(-2;\ 0)$ ; они сходятся в точке $(0;\ 4)$ (кривая в форме буквы W).

Второе неравенство: $3y \ge 4x + 12$ , $y \ge \dfrac43 x + 4$ — точки не ниже прямой, проходящей через $(-3;\ 0)$ и $(0;\ 4)$ .

Пересечения прямой с кривой:

при $x \ge 0$ имеем $(x - 2)^2 = \dfrac43 x + 4$ , $x^2 - \dfrac{16}{3}x = 0$ , $$x = 0$$ или $x = \dfrac{16}{3}$ ;
при $x \le 0$ имеем $(x + 2)^2 = \dfrac43 x + 4$ , $x^2 + \dfrac83 x = 0$ , $$x = 0$$ или $x = -\dfrac83$ .

Между $-\dfrac83$ и $\dfrac{16}{3}$ кривая лежит ниже прямой (например, при $$x = 2$$ кривая даёт $$0$$ , а прямая — $\dfrac{20}{3}$ ), там решений нет, кроме общей точки $(0;\ 4)$ . Вне этого промежутка кривая выше прямой, и решения — точки между ними.

Кривая y = (|x| − 2)² в форме буквы W с пиком (0; 4) и прямая y = 4x/3 + 4. Закрашены две неограниченные области между прямой и кривой: левее x = −8/3 и правее x = 16/3; точка (0; 4) тоже входит в множество. — Точки ниже кривой и не ниже прямой: две неограниченные части и отдельная точка (0; 4).

Аналитически множество состоит из трёх частей:

\left\{x \le -\tfrac83,\ \tfrac43x + 4 \le y \le (x + 2)^2\right\} \cup \left\{x \ge \tfrac{16}{3},\ \tfrac43x + 4 \le y \le (x - 2)^2\right\} \cup \{(0;\ 4)\}.

Обе закрашенные части неограниченные: они уходят вверх-вправо и вверх-влево между прямой и ветвями парабол.

Ответ

{x ≤ −8/3, 4x/3 + 4 ≤ y ≤ (x + 2)²} ∪ {x ≥ 16/3, 4x/3 + 4 ≤ y ≤ (x − 2)²} ∪ {(0; 4)}

Почему так

Первое неравенство — область под кривой y = (|x| − 2)², второе — над прямой y = 4x/3 + 4; общая часть там, где кривая выше прямой.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задание 894

Задача 1