Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 895

Задачи повышенной трудности

Задача 1

Условие (кратко)

а) Изобразить множество решений системы x² + y² ≤ 9, |x| + |y| ≤ 0. (повышенной трудности)

Решение

Модули неотрицательны, поэтому $|x| + |y| \le 0$ только при $$|x| = |y| = 0$$ , то есть $$x = 0$$ , $$y = 0$$ .

Точка $(0;\ 0)$ удовлетворяет и первому неравенству: $0 \le 9$ . Множество решений — одна точка, начало координат.

Ответ

Одна точка (0; 0)

Почему так

Сумма неотрицательных модулей не больше нуля, только когда оба равны нулю.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Изобразить множество решений системы x² + y² ≤ 9, |y| − |x| ≤ 0. (повышенной трудности)

Решение

$x^2 + y^2 \le 9$ — круг радиуса 3 с центром в начале координат.

$|y| \le |x|$ : в I четверти это $y \le x$ , а по симметрии — точки между прямыми $$y = x$$ и $$y = -x$$ , содержащие ось $$x$$ (правый и левый «углы» по $90^\circ$ ).

Пересечение — два сектора круга радиуса 3 по $90^\circ$ : правый (между лучами $$y = x$$ и $$y = -x$$ при $x \ge 0$ ) и левый (при $x \le 0$ ), касающиеся в начале координат. Вместе это половина круга по площади. Граница входит.

Ответ

Два сектора круга радиуса 3 по 90°, ограниченные прямыми y = x и y = −x и содержащие ось x

Почему так

Условие |y| ≤ |x| вырезает из плоскости два прямых угла между биссектрисами y = ±x, содержащие ось x.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/zadachi-povyshennoj-trudnosti/upr-895/