Задача 1
Условие (кратко)
Найти корни уравнения x³ − 2x² + 3x − 18 = 0. (повышенной трудности)
Решение
Идея: целый корень многочлена с целыми коэффициентами — делитель свободного члена 18.
Перебираем \(\pm1, \pm2, \pm3, \dots\): при \(x = 3\) получаем \(27 - 18 + 9 - 18 = 0\) — корень. Разделим многочлен на \(x - 3\) (группировкой):
\[x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x + 6x - 18 = x^2(x - 3) + x(x - 3) + 6(x - 3) = (x - 3)(x^2 + x + 6).\]
У \(x^2 + x + 6 = 0\) дискриминант \(D = 1 - 24 = -23 < 0\), корней нет. Единственный корень — \(3\).
Ответ
3
Почему так
Угадываем корень 3 среди делителей 18, после деления на x − 3 остаётся квадратный трёхчлен без корней.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».