а) Доказать, что не имеет решений уравнение 4x² + 4xy + y² + 1 = 0. (повышенной трудности)
Решение
Выделим полные квадраты:
\[4x^2 + 4xy + y^2 + 1 = (2x + y)^2 + 1.\]
Квадрат неотрицателен, поэтому \((2x + y)^2 + 1 \ge 1 > 0\). Значит, левая часть всегда положительна и нулю равняться не может — решений нет. Что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано: решений нет
Почему так
Левая часть — сумма квадратов и положительного числа, поэтому она больше нуля при любых x и y.
в) Доказать, что не имеет решений уравнение x² + y² + 4x + 5 = 0. (повышенной трудности)
Решение
Выделим полные квадраты:
\[x^2 + 4x + 4 + y^2 + 1 = (x + 2)^2 + y^2 + 1.\]
Поэтому \((x + 2)^2 + y^2 + 1 \ge 1 > 0\). Значит, левая часть всегда положительна и нулю равняться не может — решений нет. Что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано: решений нет
Почему так
Левая часть — сумма квадратов и положительного числа, поэтому она больше нуля при любых x и y.
Поэтому \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 \ge 1 > 0\). Значит, левая часть всегда положительна и нулю равняться не может — решений нет. Что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано: решений нет
Почему так
Левая часть — сумма квадратов и положительного числа, поэтому она больше нуля при любых x и y.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).