Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Задачи повышенной трудности, задание 899

Задача 1

Условие (кратко)

При каких a система x² + y² = 9, y − x = a имеет одно решение, два решения, не имеет решений? При каком наименьшем по модулю a решение одно? (повышенной трудности)

Решение

Идея: подставить $$y = x + a$$ в уравнение окружности и следить за дискриминантом.

x^2 + (x + a)^2 = 9,\qquad 2x^2 + 2ax + a^2 - 9 = 0.

Каждому корню

\(x\)

отвечает одно решение

(x;\ x + a)

, поэтому решений столько же, сколько корней. Четверть дискриминанта:

\frac{D}{4} = a^2 - 2(a^2 - 9) = 18 - a^2.

$$18 - a^2 > 0$$ , то есть $-3\sqrt2 < a < 3\sqrt2$ — два решения;
$$a^2 = 18$$ , $a = \pm 3\sqrt2$ — одно решение (прямая касается окружности);
$|a| > 3\sqrt2$ — решений нет.

Геометрически: прямая $$y = x + a$$ находится на расстоянии $\dfrac{|a|}{\sqrt2}$ от центра окружности радиуса 3; касание при $\dfrac{|a|}{\sqrt2} = 3$ .

Одно решение бывает только при $a = 3\sqrt2$ и $a = -3\sqrt2$ ; модуль у обоих значений одинаковый, $3\sqrt2$ — это и есть наименьший по модулю параметр. Если понимать вопрос как «наименьшее значение $$a$$ », ответ $a = -3\sqrt2$ .

Ответ

Одно решение при a = ±3√2; два при −3√2 < a < 3√2; нет решений при |a| > 3√2; одно решение при наименьшем по модулю a = ±3√2 (|a| = 3√2)

Почему так

После подстановки y = x + a получается квадратное уравнение с D/4 = 18 − a²; знак дискриминанта даёт число решений.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).