Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 900

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти все целые решения уравнения x² − y² = 3. (повышенной трудности)

Решение

Разложим: $$(x - y)(x + y) = 3$$ . Оба множителя целые, их произведение 3, поэтому пара $(x - y;\ x + y)$ — одна из $(1;\ 3)$ , $(3;\ 1)$ , $(-1;\ -3)$ , $(-3;\ -1)$ . Из системы $x = \dfrac{(x - y) + (x + y)}{2}$ , $y = \dfrac{(x + y) - (x - y)}{2}$ :

$(1;\ 3)$ : $$x = 2$$ , $$y = 1$$ ;
$(3;\ 1)$ : $$x = 2$$ , $$y = -1$$ ;
$(-1;\ -3)$ : $$x = -2$$ , $$y = -1$$ ;
$(-3;\ -1)$ : $$x = -2$$ , $$y = 1$$ .

Проверка: $$4 - 1 = 3$$ .

Ответ

(2; 1), (2; −1), (−2; 1), (−2; −1)

Почему так

Разность квадратов раскладываем на (x − y)(x + y) и перебираем целые разложения числа 3.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти все целые решения уравнения x² − y² = 4. (повышенной трудности)

Решение

$$(x - y)(x + y) = 4$$ . Сумма множителей $$(x - y) + (x + y) = 2x$$ чётна, значит, множители одной чётности. Разложения 4 на два целых множителя: $1\cdot 4$ , $2\cdot 2$ , $4\cdot 1$ и с минусами. В $1\cdot 4$ и $4\cdot 1$ чётность разная — не подходят. Остаются $2\cdot 2$ и $(-2)\cdot(-2)$ :

$$x - y = 2$$ , $$x + y = 2$$ : $$x = 2$$ , $$y = 0$$ ;
$$x - y = -2$$ , $$x + y = -2$$ : $$x = -2$$ , $$y = 0$$ .

Ответ

(2; 0), (−2; 0)

Почему так

Множители x − y и x + y одной чётности, а из разложений 4 этому условию удовлетворяют только 2 · 2 и (−2) · (−2).

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти все целые решения уравнения x² − 3/y² = 1. (повышенной трудности)

Решение

При целых $$x, y$$ ( $y \ne 0$ ) выразим $\dfrac{3}{y^2} = x^2 - 1$ — это целое число. Значит, $$y^2$$ — делитель числа 3, то есть $$y^2 = 1$$ или $$y^2 = 3$$ . Второе невозможно для целого $$y$$ , поэтому $$y^2 = 1$$ , $y = \pm 1$ .

Тогда $$x^2 = 1 + 3 = 4$$ , $x = \pm 2$ . Решения: все четыре пары $(\pm 2;\ \pm 1)$ .

Ответ

(2; 1), (2; −1), (−2; 1), (−2; −1)

Почему так

Дробь 3/y² должна быть целой, поэтому y² делит 3, откуда y = ±1.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти все целые решения уравнения 4/x² + y² = 6. (повышенной трудности)

Решение

При целых $x \ne 0$ , $$y$$ : $\dfrac{4}{x^2} = 6 - y^2$ — целое число, значит, $$x^2$$ делит 4: $$x^2 = 1$$ или $$x^2 = 4$$ .

$$x^2 = 1$$ : $$y^2 = 6 - 4 = 2$$ — не квадрат целого числа;
$$x^2 = 4$$ : $$y^2 = 6 - 1 = 5$$ — не квадрат целого числа.

Целых решений нет.

Ответ

Целых решений нет

Почему так

Дробь 4/x² целая только при x² = 1 или 4, но тогда y² = 2 или 5 — не квадраты целых чисел.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/zadachi-povyshennoj-trudnosti/upr-900/