Упражнение 15 к § 15

Сила тяготения проявляется всюду, где есть массивные тела.

На Земле: любое отпущенное тело падает вниз; вода в реках течёт с гор к морю; дождь и снег падают на землю; тела давят на опору и растягивают подвес — имеют вес; для прыжка или подъёма по лестнице нужно совершать работу против притяжения Земли.

В космосе: Луна удерживается на орбите вокруг Земли, планеты и кометы — вокруг Солнца, искусственные спутники — вокруг планет; приливы и отливы в океанах вызваны притяжением Луны и Солнца; Солнце и планеты имеют форму шара, потому что тяготение стягивает вещество к центру; из газа и пыли под действием тяготения образуются звёзды и галактики.

По закону всемирного тяготения \(F = G \dfrac{M m}{r^2}\). При полёте от Земли к Луне расстояние до Земли растёт — сила притяжения к Земле уменьшается (обратно пропорционально квадрату расстояния); расстояние до Луны уменьшается — сила притяжения к Луне растёт.

Посередине расстояния до Земли и до Луны одинаковы, поэтому силы отличаются только массами притягивающих тел:

\(\dfrac{F_З}{F_Л} = \dfrac{G M_З m / r^2}{G M_Л m / r^2} = \dfrac{M_З}{M_Л} = 81\).

Силы различны: к Земле станция притягивается сильнее в 81 раз.

Неверно. Сила притяжения Солнца и Земли одна и та же для обоих тел: \(F = G \dfrac{M_С M_З}{r^2}\), обе массы входят в формулу одинаково, и неважно, какое из тел считать «притягивающим». Это же следует из третьего закона Ньютона: тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами.

В 330 000 раз различаются не силы, а ускорения: \(a = F/M\), поэтому ускорение Земли, вызванное притяжением Солнца, в 330 000 раз больше ускорения Солнца, вызванного притяжением Земли. Именно поэтому Земля обращается вокруг Солнца, а Солнце лишь чуть-чуть «покачивается».

а) Да, сила притяжения к Земле действовала на мяч всё время — и при движении вверх, и в верхней точке, и при движении вниз. Она зависит только от масс мяча и Земли и расстояния между ними, а не от того, куда мяч летит, и всегда направлена к центру Земли — вниз.

б) Причина и уменьшения скорости при подъёме, и её роста при падении одна — сила притяжения к Земле. Она сообщает мячу ускорение свободного падения \(\vec{g}\), направленное вниз, которое и меняет скорость.

в) При движении вверх скорость \(\vec{v}\) направлена вверх, а ускорение \(\vec{g}\) — вниз, то есть они противоположны, поэтому модуль скорости уменьшается. При движении вниз \(\vec{v}\) и \(\vec{g}\) направлены в одну сторону — вниз, поэтому модуль скорости растёт.

Да, притягивается: закон всемирного тяготения действует между любыми телами, Луна и человек — не исключение.

Сильнее человек притягивается к Земле. По формуле \(F = G \dfrac{M m}{r^2}\) сила тем больше, чем больше масса притягивающего тела и чем меньше расстояние. Земля массивнее Луны в 81 раз, а расстояние от человека до центра Земли (6400 км) примерно в 60 раз меньше, чем до Луны (около 380 000 км). Оба фактора работают в пользу Земли: \(\dfrac{F_З}{F_Л} = \dfrac{M_З}{M_Л} \cdot \dfrac{r_Л^2}{r_З^2} \approx 81 \cdot 60^2 \approx 3 \cdot 10^5\) — притяжение к Земле сильнее в сотни тысяч раз.

Луна тоже притягивается к человеку — с той же по модулю силой, с какой человек притягивается к Луне (третий закон Ньютона; в формулу обе массы входят одинаково). Просто эта сила ничтожно мала, и заметного ускорения Луне не сообщает.