Расстояние между двумя телами уменьшили в 2 раза. Как изменилась сила их гравитационного притяжения?

Увеличилась в 4 раза

Уменьшилась в 2 раза

Увеличилась в 2 раза

Какие утверждения о законе всемирного тяготения верны?

Силы притяжения действуют между любыми телами во Вселенной

Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами

Два тела притягивают друг друга с равными по модулю силами

Сила притяжения зависит только от масс тел

Чему численно равна гравитационная постоянная G?

Силе притяжения двух тел массой по 1 кг на расстоянии 1 м друг от друга

Ускорению свободного падения у поверхности Земли

Силе притяжения тела массой 1 кг к Земле

Массе Земли в килограммах

Закон всемирного тяготения — 9 класс, физика: объяснение и задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Второй закон Ньютона

Коротко о главном

Все тела во Вселенной притягивают друг друга. Сила притяжения тем больше, чем больше массы тел, и тем меньше, чем дальше тела друг от друга, — причём с расстоянием она убывает очень быстро, как квадрат расстояния.

F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}

Здесь $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг² — гравитационная постоянная, одинаковая для всех тел во Вселенной.

Подробное объяснение

Почему мяч падает, а Луна — нет

Отпустите мяч — он упадёт. Луна тоже «падает» на Землю: её всё время тянет к нам та же сила, что и мяч. Просто Луна летит вбок так быстро, что, падая, всё время промахивается мимо Земли и остаётся на орбите. Именно так рассуждал Ньютон, сравнивая движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца, — и пришёл к выводу, что одна и та же сила действует между любыми телами. Её называют силой всемирного тяготения, или гравитационной силой.

Главная заслуга Ньютона не в самой догадке — в том, что он нашёл формулу, по которой эту силу можно посчитать.

Закон

Два любых тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной массе каждого из них и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}

Разберём, что здесь что.

$$F$$ — модуль силы притяжения, в ньютонах. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей тела: первое тянет второе к себе, второе тянет первое к себе. Силы эти равны по модулю — так и по формуле (массы входят в неё одинаково), и по третьему закону Ньютона.
$$m_1$$ и $$m_2$$ — массы тел, в килограммах. Увеличили одну массу в 3 раза — сила выросла в 3 раза. Увеличили обе — в 9 раз.
$$r$$ — расстояние между телами, в метрах. Не до поверхности, а между центрами. Расстояние в квадрате: отодвинули тела в 2 раза — сила упала в 4 раза, отодвинули в 10 раз — в 100 раз.
$$G$$ — гравитационная постоянная. Она не зависит ни от тел, ни от места: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг². Если подставить в формулу $$m_1 = m_2 = 1$$ кг и $$r = 1$$ м, получится $$F = G$$ . То есть смысл постоянной простой: это сила, с которой притягиваются два тела по килограмму на расстоянии метра. Сила эта — 0,0000000000667 Н, ничтожно малая. Вот почему мы не чувствуем притяжения стола, соседа и шкафа: пока хотя бы одно из тел не огромно, как планета, сила незаметна.

Слева два шара m₁ и m₂ притягиваются равными по модулю силами, r — расстояние между центрами. Справа тело на высоте h над планетой радиусом R: расстояние до центра r = R + h. — Силы взаимного притяжения равны по модулю и направлены вдоль линии центров; расстояние r считают от центра до центра, для тела над планетой r = R + h.

Когда формулой можно пользоваться

Формула даёт точный результат не всегда, а в трёх случаях:

Размеры тел много меньше расстояния между ними — тела можно считать точками. Так считают притяжение Земли и Солнца.
Оба тела — однородные шары. Тогда $$r$$ — расстояние между их центрами. Так считают притяжение Земли и Луны.
Одно тело — огромный однородный шар, второе — любое тело на его поверхности или рядом. Тогда $$r$$ — радиус шара (плюс высота, если тело поднято).

Третий случай — самый нужный: он позволяет считать притяжение к Земле любого предмета. Человек, дом, самолёт малы по сравнению с радиусом Земли (6400 км), поэтому расстоянием до центра Земли для них считают радиус Земли $$R_З$$ , а для спутника на высоте $$h$$ — сумму $$R_З + h$$ .

Земля притягивает яблоко — и яблоко притягивает Землю с точно такой же по модулю силой. Но ускорение Земли при этом $$a = F / M_З$$ ничтожно: масса планеты несоизмерима с массой яблока. Поэтому падает яблоко, а не Земля.

Как решать задачи

Выпишите массы в килограммах и расстояние в метрах. Если тела — шары, расстояние берите между центрами; если тело у поверхности планеты — радиус планеты; если на высоте $$h$$ — радиус плюс $$h$$ .
Подставьте в $F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ . Сначала перемножьте числа, потом отдельно степени десяти — так меньше ошибок.
Если спрашивают «во сколько раз изменится сила», формулу целиком считать не нужно: запишите $$F$$ до и после и поделите — $$G$$ и неизменные величины сократятся.
Проверьте физический смысл: притяжение двух бытовых предметов — доли микроньютона; притяжение тела к Земле — примерно 10 Н на каждый килограмм.

Разобранные примеры

База

Притяжение двух человек

Условие

Два друга массами 50 кг и 70 кг сидят на скамейке на расстоянии 1 м друг от друга. С какой силой они притягиваются друг к другу?

Дано

$$m_1 = 50$$ кг
$$m_2 = 70$$ кг
$$r = 1$$ м
$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти

$$F$$

Решение

Размеры людей сравнимы с расстоянием между ними, так что ответ будет оценочным.

$F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{50 \cdot 70}{1^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 3500 \approx 2{,}3 \cdot 10^{-7}$ Н.

Это 0,23 микроньютона — примерно вес крупинки пыли. Никакого «притяжения» друзья, конечно, не чувствуют.

Ответ: ≈ 2,3·10⁻⁷ Н

Средний

Гиря и Земля

Условие

Найдите силу, с которой Земля притягивает гирю массой 5 кг, стоящую на полу. Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг, радиус Земли 6400 км. Сравните результат с силой тяжести $$mg$$ .

Дано

$$m = 5$$ кг
$M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг
$$R_З = 6400$$ км $= 6{,}4 \cdot 10^{6}$ м
$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти

$$F$$

Решение

Гиря мала по сравнению с Землёй и стоит на её поверхности — это третий случай применимости формулы, расстояние равно радиусу Земли.

$F = G \dfrac{M_З m}{R_З^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{6 \cdot 10^{24} \cdot 5}{(6{,}4 \cdot 10^{6})^2}$ .

Считаем по частям: $(6{,}4 \cdot 10^{6})^2 = 40{,}96 \cdot 10^{12} \approx 4{,}1 \cdot 10^{13}$ ; числитель $6 \cdot 5 = 30$ , степени $10^{24}$ .

$F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{30 \cdot 10^{24}}{4{,}1 \cdot 10^{13}} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}3 \cdot 10^{11} \approx 49$ Н.

Сила тяжести $mg = 5 \cdot 9{,}8 = 49$ Н — то же самое. Сила тяжести и есть сила всемирного тяготения, действующая на тело у поверхности Земли.

Ответ: ≈ 49 Н, столько же, сколько $mg$

Сложный

Где притяжение вдвое слабее

Условие

На какой высоте над поверхностью Земли сила притяжения тела к Земле вдвое меньше, чем на поверхности? Радиус Земли 6400 км.

Дано

$$R_З = 6400$$ км
$\dfrac{F_0}{F_h} = 2$

Найти

$$h$$

Решение

На поверхности $F_0 = G \dfrac{M_З m}{R_З^2}$ , на высоте $$h$$ : $F_h = G \dfrac{M_З m}{(R_З + h)^2}$ . Массы и $$G$$ при делении сокращаются:

$\dfrac{F_0}{F_h} = \dfrac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = 2$ .

Извлекаем корень: $\dfrac{R_З + h}{R_З} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ , откуда $h = R_З(\sqrt{2} - 1) \approx 6400 \cdot 0{,}41 \approx 2600$ км.

Обратите внимание: не 6400 км, как подсказывает интуиция «вдвое дальше — вдвое слабее», а заметно меньше, потому что сила убывает как квадрат расстояния.

Ответ: ≈ 2600 км

Типичные ошибки

Берут высоту над поверхностью вместо расстояния до центра

Почему неверно

В формуле $$r$$ — расстояние между центрами тел. Для спутника на высоте 400 км школьник подставляет $$r = 400$$ км и получает силу в сотни раз больше, чем на поверхности Земли, — хотя спутник удалился от Земли, и сила должна была уменьшиться.

Как правильно

Для тела у Земли $$r = R_З + h$$ : к высоте прибавляем радиус Земли, 6400 км. Для спутника на высоте 400 км $$r = 6800$$ км, и сила лишь на 11 % меньше, чем на поверхности.

Забывают, что расстояние в квадрате

Почему неверно

«Расстояние увеличили в 3 раза — сила уменьшилась в 3 раза». Нет: в знаменателе стоит $$r^2$$ , и при $r \to 3r$ знаменатель растёт в $$3^2 = 9$$ раз. Сила уменьшается в 9 раз. То же и в обратную сторону: сблизили тела вдвое — сила выросла вчетверо.

Как правильно

Отвечая на вопрос «во сколько раз», запишите формулу дважды — до и после изменения — и поделите одно на другое. Тогда степень никуда не потеряется.

Считают, что тяжёлое тело притягивает сильнее, чем лёгкое

Почему неверно

Кажется, что Земля притягивает яблоко с большой силой, а яблоко Землю — с крошечной. Но в формуле $F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ обе массы входят одинаково: сила одна и та же, куда её ни прикладывай. Разные у тел ускорения, а не силы.

Как правильно

Силы взаимного притяжения всегда равны по модулю и противоположны по направлению. Ускорение же у каждого тела своё: $$a = F/m$$ , и у Земли оно в $10^{24}$ раз меньше, чем у яблока.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Два школьника массами 60 кг и 80 кг стоят на расстоянии 2 м друг от друга. С какой силой они притягиваются? Считайте их материальными точками.

Подсказка

Подставьте массы и расстояние в закон всемирного тяготения, расстояние не забудьте возвести в квадрат.

Решение

Дано

$$m_1 = 60$$ кг
$$m_2 = 80$$ кг
$$r = 2$$ м
$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти

$$F$$

$F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{60 \cdot 80}{2^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 1200 \approx 8 \cdot 10^{-8}$ Н.

Это в миллионы раз меньше силы, с которой давит на ладонь пёрышко, — поэтому притяжения друг к другу люди не замечают.

Ответ

≈ 8·10⁻⁸ Н

База Задача 2

Яблоко падает с ветки на Землю. Притягивает ли яблоко Землю? Если да, то как сила, с которой яблоко притягивает Землю, соотносится с силой, с которой Земля притягивает яблоко?

Подсказка

Посмотрите на формулу закона — она симметрична относительно двух масс.

Решение

Притягивает. В формулу $F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ обе массы входят одинаково, поэтому сила притяжения яблока к Земле и сила притяжения Земли к яблоку равны по модулю (это же следует из третьего закона Ньютона). Разница только в результате: у яблока ускорение заметное, а у Земли — ничтожно малое из-за огромной массы.

Ответ

Притягивает; силы равны по модулю

Средний Задача 3

Масса Земли 6·10²⁴ кг, масса Луны 7,3·10²² кг, среднее расстояние между их центрами 3,8·10⁸ м. Найдите силу притяжения между Землёй и Луной.

Подсказка

Земля и Луна — почти однородные шары, поэтому формулу применять можно, расстояние — между центрами.

Решение

Дано

$M = 6 \cdot 10^{24}$ кг
$m = 7{,}3 \cdot 10^{22}$ кг
$r = 3{,}8 \cdot 10^{8}$ м
$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти

$$F$$

$F = G \dfrac{M m}{r^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{6 \cdot 10^{24} \cdot 7{,}3 \cdot 10^{22}}{(3{,}8 \cdot 10^{8})^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{4{,}38 \cdot 10^{47}}{1{,}44 \cdot 10^{17}} \approx 2 \cdot 10^{20}$ Н.

Ответ

≈ 2·10²⁰ Н

Средний Задача 4

Космическая станция летает на высоте 400 км над Землёй. Радиус Земли 6400 км. Какую часть от силы притяжения на поверхности Земли составляет сила притяжения станции на этой высоте?

Подсказка

Расстояние в формуле — от центра Земли, то есть $$R + h$$ . Массы при делении сократятся.

Решение

Дано

$$R = 6400$$ км
$$h = 400$$ км

Найти

$\dfrac{F_h}{F_0}$

На поверхности $F_0 = G \dfrac{M m}{R^2}$ , на высоте $$h$$ : $F_h = G \dfrac{M m}{(R + h)^2}$ . Делим:

$\dfrac{F_h}{F_0} = \dfrac{R^2}{(R + h)^2} = \left(\dfrac{6400}{6800}\right)^2 \approx 0{,}89$ .

Сила притяжения на орбите станции лишь на 11 % меньше, чем на Земле, — «невесомость» там вовсе не из-за отсутствия тяготения.

Ответ

≈ 0,89 (примерно 89 %)

Сложный Задача 5

Два одинаковых свинцовых шара касаются друг друга. Во сколько раз изменится сила притяжения между ними, если радиус каждого шара увеличить в 2 раза, а материал оставить тем же (шары по-прежнему касаются)?

Подсказка

Масса шара пропорциональна кубу радиуса, а расстояние между центрами касающихся шаров равно сумме радиусов.

Решение

Дано

$$R_2 = 2 R_1$$
шары однородные и касаются

Найти

$\dfrac{F_2}{F_1}$

Масса шара $m = \rho V = \rho \cdot \dfrac{4}{3} \pi R^3$ , поэтому при увеличении радиуса в 2 раза масса каждого шара растёт в $$2^3 = 8$$ раз, а произведение масс — в $8 \cdot 8 = 64$ раза.

Расстояние между центрами касающихся шаров $$r = 2R$$ — оно увеличилось в 2 раза, значит $$r^2$$ вырос в 4 раза.

$\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{64}{4} = 16$ .

Ответ

Увеличится в 16 раз

Сложный Задача 6

На какой высоте над поверхностью Земли сила притяжения спутника к Земле в 4 раза меньше, чем на поверхности? Радиус Земли 6400 км.

Подсказка

Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра Земли. Во сколько раз должно вырасти расстояние, чтобы его квадрат вырос в 4 раза?

Решение

Дано

$$R = 6400$$ км
$\dfrac{F_0}{F_h} = 4$

Найти

$$h$$

$\dfrac{F_0}{F_h} = \dfrac{(R + h)^2}{R^2} = 4$ , откуда $\dfrac{R + h}{R} = 2$ , то есть $$R + h = 2R$$ и $$h = R = 6400$$ км.

Сила уменьшается в 4 раза не на высоте $$4R$$ и не на высоте $$2R$$ , а там, где расстояние до центра Земли вдвое больше радиуса.

Ответ

6400 км (на высоте, равной радиусу Земли)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите магнит и скрепку: они тянутся друг к другу, и чем ближе — тем сильнее. С тяготением так же, только притягиваются вообще все предметы, просто сила эта ничтожна, пока одно из тел не размером с планету. Положите на стол яблоко и спросите: «Что его держит на столе? А если стол убрать — куда полетит? А почему Луна не падает?» Подведите к мысли: Луна падает всё время, но летит вбок и промахивается. Дальше — формула: две массы в числителе (больше массы — сильнее), расстояние в квадрате в знаменателе (дальше — гораздо слабее). Пусть ребёнок сам скажет, что будет с силой, если расстояние удвоить (уменьшится в 4 раза).

Вопросы для проверки понимания: 1. Притягивает ли книга на полке телефон в руке? Почему мы этого не замечаем? 2. Кто кого тянет сильнее — Земля яблоко или яблоко Землю? 3. Какое расстояние подставлять в формулу для спутника на высоте 300 км?

На что обратить внимание. Две типичные путаницы: расстояние «до поверхности» вместо «до центра» и «в 2 раза дальше — в 2 раза слабее» вместо «в 4 раза». И самое частое заблуждение — что на орбите «нет гравитации»: на высоте МКС притяжение всего на 11 % слабее, чем на Земле.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 15	15