Упражнение 18 к § 18

Точки поверхности барабана движутся по окружности радиусом \(r\) с постоянной по модулю скоростью, поэтому их ускорение — центростремительное:

\(a_{\text{ц.с}} = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{20^2}{0{,}21} = \dfrac{400}{0{,}21} \approx 1900\) м/с².

Это почти в 200 раз больше ускорения свободного падения — поэтому вода и «выжимается» из белья.

За один оборот, то есть за 60 с, конец стрелки проходит длину окружности:

\(l = 6{,}28 R = 6{,}28 \cdot 0{,}02 = 0{,}1256\) м.

Скорость конца стрелки:

\(v = \dfrac{l}{t} = \dfrac{0{,}1256}{60} \approx 2{,}1 \cdot 10^{-3}\) м/с.

Центростремительное ускорение:

\(a_{\text{ц.с}} = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{(2{,}1 \cdot 10^{-3})^2}{0{,}02} = \dfrac{4{,}4 \cdot 10^{-6}}{0{,}02} \approx 2{,}2 \cdot 10^{-4}\) м/с².

Обе точки принадлежат одной стрелке, поэтому за время \(T\) каждая совершает ровно один оборот, но по окружностям разного радиуса.

Скорость крайней точки \(v_1 = \dfrac{2\pi R}{T}\), средней \(v_2 = \dfrac{2\pi \cdot R/2}{T} = \dfrac{\pi R}{T}\), то есть \(v_1 = 2 v_2\).

Ускорения:

\(a_1 = \dfrac{v_1^2}{R} = \dfrac{4\pi^2 R^2}{T^2 R} = \dfrac{4\pi^2 R}{T^2}\), \(\quad a_2 = \dfrac{v_2^2}{R/2} = \dfrac{\pi^2 R^2}{T^2} \cdot \dfrac{2}{R} = \dfrac{2\pi^2 R}{T^2}\).

\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{4\pi^2 R / T^2}{2\pi^2 R / T^2} = 2\), что и требовалось доказать.

Коротко: при одном и том же времени оборота ускорение пропорционально радиусу (\(a = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2}\)), а радиус у крайней точки вдвое больше.

Конец каждой стрелки за один оборот проходит одну и ту же длину окружности \(2\pi r\), но за разное время:

\(v_{\text{с}} = \dfrac{2\pi r}{T_{\text{с}}}\), \(\quad v_{\text{м}} = \dfrac{2\pi r}{T_{\text{м}}}\).

Центростремительное ускорение \(a = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2}\). Радиусы одинаковы, поэтому

\(\dfrac{a_{\text{с}}}{a_{\text{м}}} = \dfrac{T_{\text{м}}^2}{T_{\text{с}}^2} = \left(\dfrac{3600}{60}\right)^2 = 60^2 = 3600\).

Секундная стрелка делает оборот в 60 раз быстрее, её скорость в 60 раз больше, а ускорение (скорость в квадрате) — в 3600 раз больше.

а) Сила притяжения по закону всемирного тяготения:

\(F = G \dfrac{M m}{r^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{6 \cdot 10^{24} \cdot 7 \cdot 10^{22}}{(3{,}84 \cdot 10^{8})^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{4{,}2 \cdot 10^{47}}{1{,}47 \cdot 10^{17}} \approx 1{,}9 \cdot 10^{20}\) Н.

б) Именно эта сила удерживает Луну на окружности, значит, по второму закону Ньютона она сообщает Луне центростремительное ускорение:

\(a_{\text{ц.с}} = \dfrac{F}{m} = \dfrac{1{,}9 \cdot 10^{20}}{7 \cdot 10^{22}} \approx 2{,}7 \cdot 10^{-3}\) м/с².

в) Из формулы \(a_{\text{ц.с}} = \dfrac{v^2}{r}\) находим скорость:

\(v = \sqrt{a_{\text{ц.с}} r} = \sqrt{2{,}7 \cdot 10^{-3} \cdot 3{,}84 \cdot 10^{8}} = \sqrt{1{,}04 \cdot 10^{6}} \approx 1{,}0 \cdot 10^{3}\) м/с \(\approx 1\) км/с.

Проверка: за один оборот (около 27 суток, \(2{,}36 \cdot 10^{6}\) с) Луна с такой скоростью проходит \(\approx 2{,}4 \cdot 10^{9}\) м — как раз длина её орбиты \(2\pi r \approx 2{,}4 \cdot 10^{9}\) м.