Куда направлено ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью?

По радиусу от центра окружности

Ускорения нет — скорость постоянна

Тело равномерно движется по окружности. Какие утверждения верны?

Модуль скорости тела постоянен

Ускорение тела направлено к центру окружности

Сила, действующая на тело, направлена к центру окружности

Вектор скорости тела постоянен

Скорость тела на окружности того же радиуса увеличили в 3 раза. Как изменилось центростремительное ускорение?

Увеличилось в 9 раз

Увеличилось в 3 раза

Уменьшилось в 3 раза

Движение по окружности — 9 класс, физика: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Прямолинейное и криволинейное движение

Коротко о главном

Если тело движется по окружности, его скорость в каждой точке направлена по касательной, а значит, всё время меняет направление. Поэтому такое движение всегда происходит с ускорением — даже если модуль скорости постоянен. Это ускорение направлено по радиусу к центру окружности и называется центростремительным.

a_{\text{ц.с}} = \frac{v^2}{r}

Сила, заставляющая тело двигаться по окружности, тоже направлена к центру: $F = \dfrac{m v^2}{r}$ .

Подробное объяснение

Куда летят брызги с зонта

Раскрутите мокрый зонт — капли разлетаются во все стороны. Но не от центра наружу, как кажется, а по касательной: каждая капля улетает в ту сторону, куда она двигалась в момент отрыва. То же происходит с искрами от точильного круга и с грязью, слетающей с колеса велосипеда. Так опыт подтверждает: при движении по любой кривой линии скорость тела в каждой точке направлена по касательной к траектории.

Отсюда вытекает неожиданный вывод. Пусть тело движется по окружности так, что модуль скорости не меняется, — например, кабинка колеса обозрения. Скорость — вектор, у неё есть модуль и направление. Модуль постоянен, но направление меняется в каждой точке: в верхней точке кабинка движется вправо, в правой — вниз, в нижней — влево. Раз вектор скорости меняется, у тела есть ускорение. Движение по окружности всегда ускоренное.

Окружность с центром O и радиусом r. В двух положениях тела скорость v направлена по касательной, а ускорение a — к центру окружности. — При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью скорость в каждой точке направлена по касательной, а ускорение — по радиусу к центру: модуль скорости не меняется, меняется только её направление.

Куда направлено ускорение

Ускорение показывает, как изменился вектор скорости за малое время. Если модуль скорости постоянен, изменение вектора получается перпендикулярным самой скорости — а перпендикуляр к касательной это радиус. Поэтому при движении по окружности с постоянной по модулю скоростью ускорение в любой точке направлено по радиусу к центру. Его так и называют — центростремительное, то есть «стремящееся к центру».

Модуль центростремительного ускорения зависит от скорости и радиуса:

a_{\text{ц.с}} = \frac{v^2}{r}

$$v$$ — модуль скорости тела, в м/с. Скорость входит в квадрате: разогнали карусель вдвое — ускорение выросло вчетверо.
$$r$$ — радиус окружности, в метрах. Чем круче поворот (меньше радиус), тем больше ускорение при той же скорости. Вот почему на крутом повороте машину «заносит» сильнее, чем на плавном.
$a_{\text{ц.с}}$ — в м/с², как любое ускорение.

Если траектория не окружность, а произвольная кривая, каждый её кусочек можно считать дугой какой-то окружности — и в каждой точке ускорение направлено к центру этой дуги.

Откуда берётся сила

По второму закону Ньютона ускорение сонаправлено с силой, которая его вызвала. Значит, сила, заставляющая тело двигаться по окружности, тоже направлена к центру, а её модуль:

F = m a_{\text{ц.с}} = \frac{m v^2}{r}

Природа этой силы бывает разной, важно лишь, что она тянет к центру. Шарик на нити удерживает сила упругости нити. Автомобиль на повороте — сила трения колёс о дорогу (на льду трения нет — и машина едет прямо, «вылетая» с поворота). Луну около Земли и планеты около Солнца — сила всемирного тяготения. Электрон около ядра — электрическая сила притяжения.

Заметьте: никакой особой «силы, тянущей от центра», в этих задачах нет. Ощущение, что на карусели вас «выбрасывает наружу», возникает потому, что тело по инерции стремится двигаться прямо по касательной, а сиденье или ремень тянут его к центру.

Как решать задачи

Найдите радиус окружности и переведите его в метры (см, км — частая ловушка). Если дан диаметр — разделите пополам.
Найдите скорость в м/с. Если известны число оборотов и время, посчитайте путь за один оборот — длину окружности $l = 2\pi r \approx 6{,}28 r$ — и разделите на время одного оборота.
Подставьте в $a_{\text{ц.с}} = \dfrac{v^2}{r}$ . Если нужна сила — умножьте ускорение на массу: $F = \dfrac{m v^2}{r}$ .
Если спрашивают «во сколько раз изменится», не считайте числа: запишите формулу до и после изменения и поделите.
Проверьте направление: ускорение и сила — к центру, скорость — по касательной. И проверьте смысл: у обычной карусели ускорение — единицы м/с², у точки обода быстрого колеса — сотни.

Разобранные примеры

База

Точка на краю диска

Условие

Диск радиусом 0,4 м вращается так, что точка на его краю движется со скоростью 2 м/с. Найдите центростремительное ускорение этой точки.

Дано

$$r = 0{,}4$$ м
$$v = 2$$ м/с

Найти

$a_{\text{ц.с}}$

Решение

$a_{\text{ц.с}} = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{2^2}{0{,}4} = \dfrac{4}{0{,}4} = 10$ м/с².

Примерно как ускорение свободного падения — а диск вращается совсем не быстро.

Ответ: 10 м/с²

Средний

Автомобиль на повороте

Условие

Автомобиль массой 1,5 т проходит поворот радиусом 100 м со скоростью 72 км/ч. С какой силой дорога должна действовать на колёса, чтобы автомобиль не вылетел с дороги? Сравните её с силой тяжести.

Дано

$$m = 1{,}5$$ т $$= 1500$$ кг
$$r = 100$$ м
$$v = 72$$ км/ч $$= 20$$ м/с

Найти

$$F$$

Решение

Автомобиль движется по дуге окружности, значит, на него должна действовать сила, направленная к центру поворота. На горизонтальной дороге это сила трения колёс о дорогу:

$F = \dfrac{m v^2}{r} = \dfrac{1500 \cdot 20^2}{100} = \dfrac{1500 \cdot 400}{100} = 6000$ Н.

Сила тяжести $mg = 1500 \cdot 10 = 15\,000$ Н. Нужная сила трения — 40 % от силы тяжести. На сухом асфальте дорога такую силу даёт, а на мокром или обледенелом — уже нет, и тогда автомобиль по инерции продолжает движение по прямой.

Ответ: 6000 Н, это 0,4 силы тяжести

Сложный

Когда оборвётся верёвка

Условие

Камень массой 0,3 кг раскручивают на верёвке длиной 1,2 м в горизонтальной плоскости. Верёвка выдерживает силу натяжения не больше 60 Н. При какой скорости камня верёвка оборвётся?

Дано

$$m = 0{,}3$$ кг
$$r = 1{,}2$$ м
$F_{\max} = 60$ Н

Найти

$$v$$

Решение

Камень удерживает на окружности сила натяжения верёвки: $F = \dfrac{m v^2}{r}$ . Чем больше скорость, тем сильнее натянута верёвка. Она оборвётся, когда нужная сила превысит $F_{\max}$ :

$\dfrac{m v^2}{r} = F_{\max}$ , откуда $v = \sqrt{\dfrac{F_{\max} r}{m}} = \sqrt{\dfrac{60 \cdot 1{,}2}{0{,}3}} = \sqrt{240} \approx 15{,}5$ м/с.

При меньшей скорости верёвка выдержит, при большей — порвётся, и камень улетит по касательной.

Ответ: ≈ 15,5 м/с

Типичные ошибки

Считают, что при постоянной скорости ускорения нет

Почему неверно

Ученик видит слова «с постоянной скоростью» и пишет $$a = 0$$ . Но постоянен только модуль скорости. Скорость — вектор, и на окружности её направление меняется непрерывно. Меняется вектор — есть ускорение.

Как правильно

Движение по окружности всегда ускоренное. Если модуль скорости не меняется, ускорение направлено к центру и равно $\dfrac{v^2}{r}$ ; если меняется и модуль — ускорение ещё больше.

Направляют ускорение по касательной или от центра

Почему неверно

Скорость направлена по касательной — и ускорение по привычке рисуют туда же. Или, вспомнив, как на карусели «тянет наружу», направляют ускорение от центра. Но ускорение по касательной меняло бы модуль скорости, а он постоянен. А «наружу» тянет не сила, а инерция: тело стремится двигаться прямо.

Как правильно

Ускорение и сила при равномерном движении по окружности всегда направлены по радиусу к центру. Скорость — по касательной, перпендикулярно им.

Подставляют радиус в сантиметрах или диаметр вместо радиуса

Почему неверно

В задаче «колесо диаметром 60 см» ученик подставляет $$r = 60$$ и получает ускорение в сотни раз меньше настоящего. Формула работает только с радиусом в метрах и скоростью в м/с.

Как правильно

Сначала переведите: диаметр 60 см — это радиус 30 см $$= 0{,}3$$ м; скорость 36 км/ч $$= 10$$ м/с. Только потом подставляйте.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Ребёнок сидит на карусели на расстоянии 3 м от оси вращения и движется со скоростью 4,5 м/с. Найдите центростремительное ускорение ребёнка.

Подсказка

Ускорение равно квадрату скорости, делённому на радиус окружности.

Решение

Дано

$$r = 3$$ м
$$v = 4{,}5$$ м/с

Найти

$a_{\text{ц.с}}$

$a_{\text{ц.с}} = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{4{,}5^2}{3} = \dfrac{20{,}25}{3} = 6{,}75$ м/с².

Ответ

6,75 м/с²

База Задача 2

Шарик на нити равномерно движется по окружности на гладком столе. Куда направлены в каждый момент скорость шарика, его ускорение и сила натяжения нити? Есть ли у шарика ускорение, если модуль его скорости не меняется?

Подсказка

Вспомните, что скорость — вектор, а ускорение показывает, как этот вектор меняется.

Решение

Скорость направлена по касательной к окружности — в ту сторону, куда шарик движется в данный момент. Ускорение и сила натяжения нити направлены одинаково — по радиусу к центру окружности.

Ускорение есть: модуль скорости постоянен, но её направление всё время меняется, а значит, меняется вектор скорости. Изменение вектора скорости — это и есть ускорение.

Ответ

Скорость — по касательной, ускорение и сила — к центру; ускорение есть, потому что меняется направление скорости

Средний Задача 3

Автомобиль массой 1200 кг проходит поворот радиусом 50 м со скоростью 15 м/с, не меняя модуля скорости. Найдите силу трения, которая удерживает автомобиль на повороте.

Подсказка

Сила, заставляющая тело двигаться по окружности, равна массе, умноженной на центростремительное ускорение.

Решение

Дано

$$m = 1200$$ кг
$$r = 50$$ м
$$v = 15$$ м/с

Найти

$$F$$

Единственная сила, которая на горизонтальной дороге может быть направлена к центру поворота, — сила трения колёс о дорогу. По второму закону Ньютона она равна:

$F = m a_{\text{ц.с}} = \dfrac{m v^2}{r} = \dfrac{1200 \cdot 15^2}{50} = \dfrac{1200 \cdot 225}{50} = 5400$ Н.

Ответ

5400 Н

Средний Задача 4

Точка на ободе велосипедного колеса радиусом 35 см движется с центростремительным ускорением 140 м/с². С какой скоростью движется точка обода?

Подсказка

Выразите скорость из формулы центростремительного ускорения и переведите радиус в метры.

Решение

Дано

$$r = 35$$ см $$= 0{,}35$$ м
$a_{\text{ц.с}} = 140$ м/с²

Найти

$$v$$

Из $a_{\text{ц.с}} = \dfrac{v^2}{r}$ получаем $v^2 = a_{\text{ц.с}} r$ , откуда

$v = \sqrt{a_{\text{ц.с}} r} = \sqrt{140 \cdot 0{,}35} = \sqrt{49} = 7$ м/с.

Ответ

7 м/с

Сложный Задача 5

Шарик массой 0,2 кг на нити длиной 0,5 м раскручивают по окружности на гладком горизонтальном столе так, что он делает 2 оборота в секунду. Найдите силу натяжения нити. Длина окружности $l = 2\pi r$ .

Подсказка

Сначала найдите скорость — путь за один оборот равен длине окружности, а один оборот длится полсекунды.

Решение

Дано

$$m = 0{,}2$$ кг
$$r = 0{,}5$$ м
2 оборота в секунду

Найти

$$F$$

Один оборот занимает $$t = 0{,}5$$ с. За это время шарик проходит длину окружности $l = 2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}5 = 3{,}14$ м, поэтому

$v = \dfrac{l}{t} = \dfrac{3{,}14}{0{,}5} = 6{,}28$ м/с.

Сила натяжения нити и есть сила, сообщающая шарику центростремительное ускорение:

$F = \dfrac{m v^2}{r} = \dfrac{0{,}2 \cdot 6{,}28^2}{0{,}5} = \dfrac{0{,}2 \cdot 39{,}4}{0{,}5} \approx 15{,}8$ Н.

Это примерно в 8 раз больше веса шарика (2 Н) — раскрученная на нити игрушка натягивает нить очень сильно.

Ответ

≈ 15,8 Н (≈ 16 Н)

Сложный Задача 6

Тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Скорость увеличили в 2 раза, а радиус окружности уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменилось центростремительное ускорение?

Подсказка

Запишите формулу ускорения до и после изменений и поделите одно на другое.

Решение

Дано

$$v_2 = 2 v_1$$
$r_2 = \dfrac{r_1}{2}$

Найти

$\dfrac{a_2}{a_1}$

$a_1 = \dfrac{v_1^2}{r_1}$ , $a_2 = \dfrac{v_2^2}{r_2} = \dfrac{(2 v_1)^2}{r_1 / 2} = \dfrac{4 v_1^2 \cdot 2}{r_1} = 8 \dfrac{v_1^2}{r_1}$ .

$\dfrac{a_2}{a_1} = 8$ — ускорение увеличилось в 8 раз: в 4 раза из-за скорости (она в квадрате) и ещё в 2 раза из-за меньшего радиуса.

Ответ

Увеличилось в 8 раз

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Привяжите к нитке ластик и раскрутите над столом. Спросите: «Куда полетит ластик, если нитку отпустить?» Большинство скажет «наружу, от центра». Отпустите — он улетит по касательной, вбок. Это первый факт: скорость направлена по касательной. Второй: ластик тянет нитку, а нитка — ластик, к руке, к центру. Именно эта сила всё время «заворачивает» ластик, не давая ему улететь по прямой. Значит, скорость всё время меняет направление — и это называется ускорением, хотя быстрее ластик не движется. Пусть ребёнок покрутит быстрее и почувствует, как сильнее натягивается нитка: сила растёт с квадратом скорости.

Вопросы для проверки понимания: 1. Куда полетит камень, если верёвка оборвётся? 2. Кабинка колеса обозрения движется с постоянной скоростью. Есть ли у неё ускорение и куда оно направлено? 3. Что удерживает автомобиль на повороте и почему на льду поворот опасен?

На что обратить внимание. Самая частая ошибка — «скорость постоянна, значит, ускорения нет». Добейтесь, чтобы ребёнок сам сказал: меняется направление, а не модуль. Вторая ловушка — «центробежная сила», которая «тянет наружу»: в школьной задаче такой силы нет, есть только сила к центру. И следите за единицами: радиус в сантиметрах в формуле $$v^2/r$$ даёт ошибку в 100 раз.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 18	18