Упражнение 19 к § 19

Спутник движется под действием одной силы тяжести, которая сообщает ему центростремительное ускорение \(g = G \dfrac{M_З}{(R_З + h)^2}\). Из \(g = \dfrac{v^2}{r}\) при \(r = R_З + h\) получаем

\(v = \sqrt{G \dfrac{M_З}{R_З + h}}\).

Радиус орбиты \(R_З + h = 6{,}4 \cdot 10^{6} + 2{,}6 \cdot 10^{6} = 9{,}0 \cdot 10^{6}\) м.

\(v = \sqrt{\dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{9{,}0 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{\dfrac{4{,}0 \cdot 10^{14}}{9{,}0 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{4{,}45 \cdot 10^{7}} \approx 6{,}67 \cdot 10^{3}\) м/с.

Скорость меньше 7,9 км/с, потому что на высоте 2600 км притяжение Земли заметно слабее, чем у поверхности.

Орбита проходит у самой поверхности, поэтому её радиус равен радиусу Луны, а ускорение спутника — ускорению свободного падения на поверхности. Первая космическая скорость \(v = \sqrt{g R_Л}\).

Возводим в квадрат: \(v^2 = g R_Л\), откуда \(R_Л = \dfrac{v^2}{g}\).

\(R_Л = \dfrac{(1{,}67 \cdot 10^{3})^2}{1{,}6} = \dfrac{2{,}79 \cdot 10^{6}}{1{,}6} \approx 1{,}74 \cdot 10^{6}\) м \(\approx 1{,}7 \cdot 10^{3}\) км.

Радиус Луны почти в четыре раза меньше радиуса Земли — это согласуется со справочным значением 1737 км.