Упражнение 20 к § 20

Модуль импульса каждой машины одинаков: \(p = mv = 0{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}02\) кг·м/с.

Векторы импульсов не равны: они направлены так же, как скорости, то есть в противоположные стороны. Равны только их модули.

Ось X направим по движению первой машины. Тогда \(v_{1x} = 0{,}1\) м/с, \(v_{2x} = -0{,}1\) м/с.

\(p_{1x} = mv_{1x} = 0{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}02\) кг·м/с; \(p_{2x} = mv_{2x} = 0{,}2 \cdot (-0{,}1) = -0{,}02\) кг·м/с.

Переведём единицы в СИ: \(54\) км/ч \(= 54 : 3{,}6 = 15\) м/с, \(72\) км/ч \(= 72 : 3{,}6 = 20\) м/с.

Скорость не меняет направления, поэтому ось X направим по движению и запишем проекции:

\(\Delta p_x = mv_2 - mv_1 = m(v_2 - v_1) = 1000 \cdot (20 - 15) = 5000\) кг·м/с \(= 5 \cdot 10^3\) кг·м/с.

Лодка и человек взаимодействуют только друг с другом: сила тяжести уравновешена силой Архимеда, а сопротивлением воды при медленном движении можно пренебречь. Систему «человек + лодка» считаем замкнутой.

До начала движения оба тела покоятся, и суммарный импульс системы равен нулю. По закону сохранения импульса он должен остаться нулевым и дальше.

Когда человек идёт к носу, он приобретает импульс, направленный к носу. Чтобы сумма осталась равной нулю, лодка получает такой же по модулю импульс, направленный в противоположную сторону: \(m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 0\), откуда \(\vec{v}_2 = -\dfrac{m_1}{m_2} \vec{v}_1\).

Значит, лодка движется назад — в сторону кормы, причём тем медленнее, чем она тяжелее по сравнению с человеком. Когда человек останавливается, останавливается и лодка (без учёта сопротивления воды).

Систему из двух вагонов считаем замкнутой: сила тяжести уравновешена реакцией рельсов, трение за время сцепки мало. Ось X направим по движению первого вагона.

Закон сохранения импульса: \(m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = (m_1 + m_2) v\).

\(v_1 = \dfrac{(m_1 + m_2) v}{m_1} = \dfrac{(35 + 28) \cdot 0{,}5}{35} = \dfrac{31{,}5}{35} = 0{,}9\) м/с.

Массы можно оставить в тоннах — они сокращаются.