Импульс тела. Закон сохранения импульса

Кого труднее остановить

Представьте, что к вам катится теннисный мяч, а потом — тележка из супермаркета с той же скоростью. Мяч вы поймаете одной рукой, тележку придётся останавливать всем телом. А теперь та же тележка, но катится еле-еле — её можно придержать пальцем. Значит, «напор» движущегося тела зависит сразу от двух вещей: от массы и от скорости. Физики объединили их в одну величину — импульс.

Импульс тела

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Масса \(m\) измеряется в килограммах, скорость \(v\) — в метрах в секунду, поэтому единица импульса — килограмм-метр в секунду (кг·м/с). Такой импульс имеет тело массой 1 кг, движущееся со скоростью 1 м/с.

Импульс — вектор, и направлен он туда же, куда скорость. Два одинаковых мяча, летящих с одной скоростью в разные стороны, имеют одинаковые по модулю, но разные импульсы. Чтобы не путаться с направлениями, в задачах выбирают ось X и работают с проекциями: \(p_x = mv_x\). Если тело движется по оси — проекция положительна, против оси — отрицательна.

Слово «импульс» пришло из латыни и означает «толчок». В старых книгах ту же величину называют «количеством движения».

Что происходит при взаимодействии

Пустите по столу шарик так, чтобы он ударил в точно такой же неподвижный шарик. Первый остановится, второй покатится с той же скоростью. Импульс первого шарика уменьшился до нуля, импульс второго вырос ровно на столько же. Импульс словно «перетёк» из одного тела в другое, а общий импульс остался прежним.

Так бывает всегда, когда тела взаимодействуют только между собой. Такую группу тел называют замкнутой системой: внешние тела на неё не действуют. Для замкнутой системы верен закон сохранения импульса:

Векторная сумма импульсов тел замкнутой системы не меняется со временем при любых движениях и взаимодействиях этих тел.

Для двух тел это записывают так: \(\vec{p}_1' + \vec{p}_2' = \vec{p}_1 + \vec{p}_2\). Слева — импульсы после взаимодействия, справа — до него. В проекциях на ось X: \(m_1 v_{1x}' + m_2 v_{2x}' = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}\).

Полностью замкнутых систем в природе почти нет: на шарики действуют и Земля, и стол. Но закон работает и тогда, когда внешние силы есть, а их векторная сумма равна нулю. Сила тяжести и сила реакции стола уравновешивают друг друга, трение при коротком ударе мало — и шарики можно считать замкнутой системой.

Откуда берётся закон

Закон не приходится принимать на веру — он следует из второго и третьего законов Ньютона. Пусть два тела сталкиваются и действуют друг на друга в течение короткого времени \(t\). По третьему закону силы равны и противоположны: \(\vec{F}_1 = -\vec{F}_2\). По второму закону каждую силу можно записать через массу и ускорение, а ускорение — через изменение скорости за время \(t\):

Сократим на \(t\), раскроем скобки и соберём «штрихованные» скорости слева, а начальные — справа:

Это и есть закон сохранения импульса. Обратите внимание: сама сила взаимодействия из формулы исчезла. Поэтому закон так удобен — он позволяет решать задачи об ударах и разрывах, когда силы огромны, действуют мгновенно и измерить их невозможно.

Как решать задачи

1. Выясните, какие тела входят в систему, и убедитесь, что её можно считать замкнутой: внешние силы отсутствуют, уравновешены или малы за время взаимодействия.
2. Выберите ось X — обычно вдоль движения тел. Запишите проекции скоростей до и после взаимодействия со знаками: по оси — «плюс», против оси — «минус», покой — ноль.
3. Запишите закон сохранения в проекциях: сумма \(mv_x\) всех тел до взаимодействия равна сумме после.
4. Если тела сцепились, после удара у них одна скорость, а масса — сумма масс: \((m_1 + m_2) v_x\).
5. Решите уравнение относительно неизвестной величины. Знак ответа покажет направление: отрицательная проекция — тело движется против оси.
6. Проверьте единицы: кг·м/с для импульса, м/с для скорости — и здравый смысл: сцепленные тележки не могут ехать быстрее самой быстрой из них.