Упражнение 8 к § 8

При движении без начальной скорости пути за последовательные равные промежутки времени относятся как \(1 : 3 : 5\), поэтому за третью секунду поезд проходит в 5 раз больше, чем за первую:

\(s_1 = \dfrac{s_{III}}{5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\) м.

Перемещение за первую секунду \(s_1 = \dfrac{a t_1^2}{2}\) при \(t_1 = 1\) с, откуда

\(a = \dfrac{2 s_1}{t_1^2} = \dfrac{2 \cdot 0{,}4}{1^2} = 0{,}8\) м/с².

Проверка: за 3 с поезд проходит \(\dfrac{0{,}8 \cdot 9}{2} = 3{,}6\) м, за 2 с — \(\dfrac{0{,}8 \cdot 4}{2} = 1{,}6\) м, за третью секунду \(3{,}6 - 1{,}6 = 2\) м.

Пути за последовательные секунды относятся как \(1 : 3 : 5 : 7 : 9\), значит за пятую секунду автомобиль проходит \(9 s_1\):

\(s_1 = \dfrac{s_V}{9} = \dfrac{6{,}3}{9} = 0{,}7\) м.

Из \(s_1 = \dfrac{a \cdot 1^2}{2}\) находим ускорение: \(a = 2 s_1 = 1{,}4\) м/с².

Скорость к концу пятой секунды: \(v = a t = 1{,}4 \cdot 5 = 7\) м/с.

Проверка: \(s(5) - s(4) = \dfrac{1{,}4 \cdot 25}{2} - \dfrac{1{,}4 \cdot 16}{2} = 17{,}5 - 11{,}2 = 6{,}3\) м.

Дано: \(t_1 = 0{,}03\) с, \(s_1 = 2\) мм; \(t_2 = 0{,}06\) с, \(s_2 = 8\) мм; \(t_3 = 0{,}09\) с, \(s_3 = 18\) мм. Доказать: движение равноускоренное.

Промежутки времени отсчитываются от начала движения и относятся как \(t_1 : t_2 : t_3 = 0{,}03 : 0{,}06 : 0{,}09 = 1 : 2 : 3\).

При равноускоренном движении без начальной скорости перемещения за такие промежутки должны относиться как квадраты: \(1 : 4 : 9\) (закономерность (1)).

Сравниваем перемещения: \(s_1 : s_2 : s_3 = 2 : 8 : 18 = 1 : 4 : 9\).

Отношения совпали с рядом квадратов последовательных натуральных чисел, а такая закономерность присуща только равноускоренному движению. Значит, в течение всех \(0{,}09\) с тело двигалось равноускоренно.

Дополнительно: \(a = \dfrac{2 s_1}{t_1^2} = \dfrac{2 \cdot 0{,}002}{0{,}03^2} \approx 4{,}4\) м/с² — одно и то же значение получается по любой из трёх пар данных.