По какой формуле рассчитывают проекцию перемещения при прямолинейном равноускоренном движении?

$s_x = v_{0x} t + \dfrac{a_x t^2}{2}$

Какие утверждения верны для равноускоренного движения без начальной скорости?

Если время увеличить в 4 раза, перемещение вырастет в 16 раз

Перемещение пропорционально времени

Автомобиль тормозит. Ось X направлена по его скорости. Какой знак у проекции ускорения a_x?

Проекция равна нулю

Зависит от массы автомобиля

Перемещение при равноускоренном движении

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Скорость прямолинейного равноускоренного движения. График скорости

Коротко о главном

При прямолинейном равноускоренном движении перемещение складывается из двух частей: сколько тело «проехало бы» со своей начальной скоростью и сколько добавило (или отняло) ускорение.

s_x = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}

Если тело начинает движение из состояния покоя ( $$v_0 = 0$$ ), формула укорачивается до $s = \dfrac{a t^2}{2}$ : перемещение растёт пропорционально квадрату времени, а пути за последовательные равные промежутки относятся как 1 : 3 : 5 : 7…

Подробное объяснение

Откуда берётся формула

Представьте электросамокат, который едет со скоростью 3 м/с, а потом вы нажимаете газ, и он начинает разгоняться. Сколько метров он проедет за следующие 4 с? Если бы скорость не менялась, ответ был бы простым: $3 \cdot 4 = 12$ м. Но скорость растёт, значит проедет больше. Насколько больше — зависит от ускорения.

Точный ответ даёт график скорости. Перемещение численно равно площади фигуры под графиком $$v_x(t)$$ — это верно для любого движения. Для равномерного движения под графиком лежит прямоугольник. Для равноускоренного — трапеция: слева её высота равна $v_{0x}$ , справа — $$v_x$$ , а основание вдоль оси времени равно $$t$$ .

График проекции скорости от времени при равноускоренном движении — наклонная прямая, начинающаяся на высоте v0x и доходящая до vx в момент t. Площадь под графиком закрашена и разделена на прямоугольник высотой v0x с подписью «v0x · t» и треугольник над ним с подписью «ax · t² / 2». — Проекция перемещения равна площади трапеции под графиком скорости — прямоугольник v₀ₓt плюс треугольник aₓt²/2.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t

Это уже рабочая формула: перемещение равно средней скорости, умноженной на время. Подставим $v_x = v_{0x} + a_x t$ и получим главную формулу темы:

s_x = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}

На рисунке видно, что первое слагаемое — это прямоугольник (та самая «равномерная» часть), а второе — треугольник сверху, добавка за счёт ускорения.

Смысл величин

$$s_x$$ — проекция перемещения на ось $$X$$ , в метрах. Может быть отрицательной, если тело сместилось против оси.
$v_{0x}$ — проекция начальной скорости, м/с.
$$a_x$$ — проекция ускорения, м/с². При разгоне она того же знака, что и $v_{0x}$ ; при торможении — противоположного, и слагаемое с ускорением вычитается.
$$t$$ — время движения, с. В формулу оно входит в квадрате, поэтому вклад ускорения быстро растёт со временем.

Знаки — главное, за чем нужно следить. Обычно ось $$X$$ направляют по начальной скорости, тогда $v_{0x} > 0$ , а $$a_x$$ положительна при разгоне и отрицательна при торможении.

Если из формулы скорости выразить время $t = \dfrac{v_x - v_{0x}}{a_x}$ и подставить в формулу трапеции, получится ещё одна полезная запись — без времени:

s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2 a_x}

Она удобна, когда время неизвестно и не нужно, например для тормозного пути.

Без начальной скорости

Если тело трогается с места, $v_{0x} = 0$ , и остаётся только

s = \frac{a t^2}{2}

Здесь векторы перемещения и ускорения направлены одинаково, поэтому можно писать модули, не думая о знаках. Из формулы следует важная вещь: перемещение пропорционально квадрату времени. Увеличили время в 2 раза — перемещение выросло в 4 раза; в 3 раза — в 9; в $$n$$ раз — в $$n^2$$ раз.

Отсюда две закономерности, которые часто спрашивают:

Перемещения за время $$t_1$$ , $$2t_1$$ , $$3t_1$$ , $$4t_1$$ относятся как $$1 : 4 : 9 : 16$$ — ряд квадратов.
Пути за первый, второй, третий, четвёртый одинаковые промежутки относятся как $$1 : 3 : 5 : 7$$ — ряд нечётных чисел. Это разности соседних квадратов: $$4 - 1 = 3$$ , $$9 - 4 = 5$$ , $$16 - 9 = 7$$ .

Ось перемещения с пятью положениями тела в моменты 0, t1, 2t1, 3t1 и 4t1. Перемещения от старта подписаны как 0, s1, 4s1, 9s1 и 16s1, а пути за каждый промежуток между соседними положениями — как s1, 3s1, 5s1 и 7s1. — При равноускоренном движении из покоя перемещения за t₁, 2t₁, 3t₁, 4t₁ относятся как 1 : 4 : 9 : 16, а пути за равные промежутки — как 1 : 3 : 5 : 7.

Эти закономерности выполняются только при равноускоренном движении без начальной скорости. Поэтому ими можно пользоваться как тестом: если пути за равные промежутки относятся как 1 : 3 : 5, движение равноускоренное, если нет — нет.

Как решать задачи

Направьте ось $$X$$ вдоль начальной скорости (если тело покоилось — вдоль ускорения).
Запишите проекции со знаками: при разгоне $$a_x > 0$$ , при торможении $$a_x < 0$$ .
Переведите все величины в СИ: км/ч в м/с (делить на 3,6), см и мм — в метры.
Выберите формулу: известны $$v_0$$ , $$a$$ , $$t$$ — берите $s_x = v_{0x} t + \dfrac{a_x t^2}{2}$ ; известны обе скорости и время — $s_x = \dfrac{v_{0x} + v_x}{2} t$ ; нет времени — $s_x = \dfrac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2 a_x}$ .
Если тело тормозит до остановки, сначала найдите время торможения $t = \dfrac{v_0}{a}$ — за большее время подставлять нельзя, тело уже стоит.
Для задач «за третью секунду» вычтите из перемещения за 3 с перемещение за 2 с или используйте ряд 1 : 3 : 5.
Проверьте ответ на здравый смысл: тормозной путь автомобиля — десятки метров, а не километры.

Разобранные примеры

База

Спуск с горки с начальной скоростью

Условие

Лыжник въезжает на склон со скоростью 3 м/с и дальше едет вниз с постоянным ускорением 1,2 м/с². Какое перемещение он совершит за 5 с?

Дано

$$v_0 = 3$$ м/с
$$a = 1{,}2$$ м/с²
$$t = 5$$ с

Найти

$$s$$

Решение

Ось $$X$$ направим вниз по склону. Скорость и ускорение направлены в одну сторону, поэтому обе проекции положительны:

s = v_0 t + \frac{a t^2}{2} = 3 \cdot 5 + \frac{1{,}2 \cdot 5^2}{2} = 15 + 15 = 30 \text{ м}

Без ускорения лыжник проехал бы 15 м, ещё 15 м добавил разгон.

Ответ: 30 м

Средний

Тормозной путь мотоцикла

Условие

Мотоциклист едет со скоростью 25 м/с и начинает тормозить с ускорением 5 м/с² по модулю. Какой путь он проедет до остановки?

Дано

$$v_0 = 25$$ м/с
$$a = 5$$ м/с²
$$v = 0$$

Найти

$$s$$

Решение

Ось $$X$$ — по скорости, тогда $$a_x = -5$$ м/с². Время до остановки:

t = \frac{v_0}{a} = \frac{25}{5} = 5 \text{ с}

Перемещение:

s = v_0 t - \frac{a t^2}{2} = 25 \cdot 5 - \frac{5 \cdot 5^2}{2} = 125 - 62{,}5 = 62{,}5 \text{ м}

Проверим формулой без времени: $s = \dfrac{v_0^2}{2a} = \dfrac{625}{10} = 62{,}5$ м. Совпало.

Ответ: 62,5 м

Сложный

Санки и закономерность 1 : 3 : 5

Условие

Санки трогаются с места и скатываются с горки равноускоренно. За первые 2 с они проехали 1 м. Какой путь они проедут за 6 с и какой — за промежуток с 4-й по 6-ю секунду?

Дано

$$t_1 = 2$$ с
$$s_1 = 1$$ м
$$t = 6$$ с

Найти

$$s$$ за 6 с и $$s$$ за промежуток 4–6 с

Решение

Время 6 с в 3 раза больше 2 с, а перемещение без начальной скорости пропорционально квадрату времени:

s = 3^2 s_1 = 9 \cdot 1 = 9 \text{ м}

Промежуток 4–6 с — третий по счёту из одинаковых промежутков по 2 с. Пути относятся как $$1 : 3 : 5$$ , значит за третий промежуток санки проедут $$5 s_1 = 5$$ м.

Проверка через ускорение: $a = \dfrac{2 s_1}{t_1^2} = \dfrac{2 \cdot 1}{4} = 0{,}5$ м/с². За 6 с: $\dfrac{0{,}5 \cdot 36}{2} = 9$ м, за 4 с: $\dfrac{0{,}5 \cdot 16}{2} = 4$ м, разность $$9 - 4 = 5$$ м.

Ответ: 9 м; 5 м

Типичные ошибки

При торможении ставят плюс перед слагаемым с ускорением

Почему неверно

Ученик считает тормозной путь как $s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$ и получает число больше, чем $$v_0 t$$ . Но тормозящее тело едет медленнее, чем ехало бы равномерно, — путь должен быть меньше, а не больше.

Как правильно

Если ось направлена по скорости, при торможении $$a_x$$ отрицательна: $s = v_0 t - \dfrac{a t^2}{2}$ . Проверка: при торможении до остановки ответ должен совпасть с $\dfrac{v_0^2}{2a}$ .

Путают «за третью секунду» и «за три секунды»

Почему неверно

«За третью секунду» — это путь только между отметками 2 с и 3 с, а «за три секунды» — весь путь от старта. Подставив $$t = 3$$ с в $\dfrac{a t^2}{2}$ , получают путь за три секунды, который в 9 раз больше пути за первую, хотя за третью секунду тело проходит лишь в 5 раз больше.

Как правильно

Путь за $$n$$ -ю секунду — это $$s(n) - s(n - 1)$$ . Для движения без начальной скорости он равен $$(2n - 1) s_1$$ : за третью секунду $$5 s_1$$ , за пятую — $$9 s_1$$ .

Подставляют скорость в километрах в час

Почему неверно

Если $$v_0 = 18$$ км/ч подставить в формулу как 18, а ускорение оставить в м/с², слагаемые окажутся в разных единицах, и ответ будет бессмысленным — в 3,6 раза больше в «равномерной» части.

Как правильно

Перед подстановкой переводите скорость в м/с: $$18$$ км/ч $$= 18 : 3{,}6 = 5$$ м/с. Все величины в формуле должны быть в СИ.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Самокат едет со скоростью 2 м/с и начинает разгоняться с ускорением 0,5 м/с². Какое перемещение он совершит за 4 с разгона?

Подсказка

Скорость и ускорение направлены в одну сторону — оба слагаемых формулы со знаком плюс.

Решение

$s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2} = 2 \cdot 4 + \dfrac{0{,}5 \cdot 4^2}{2} = 8 + 4 = 12$ м.

Ответ

12 м

База Задача 2

Шарик отпускают на наклонном жёлобе, и он катится из состояния покоя с ускорением 0,4 м/с². Какое перемещение он совершит за 3 с?

Подсказка

Начальная скорость равна нулю — остаётся только слагаемое с ускорением.

Решение

$s = \dfrac{a t^2}{2} = \dfrac{0{,}4 \cdot 3^2}{2} = \dfrac{3{,}6}{2} = 1{,}8$ м.

Ответ

1,8 м

Средний Задача 3

Автомобиль движется со скоростью 20 м/с. Водитель тормозит, и автомобиль замедляется с ускорением 2,5 м/с² по модулю. Какой путь он пройдёт до полной остановки?

Подсказка

Сначала найдите время торможения из формулы скорости, потом перемещение. Или сразу примените $s = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a}$ .

Решение

Время до остановки: $t = \dfrac{v_0}{a} = \dfrac{20}{2{,}5} = 8$ с.

Ось $$X$$ — по движению, поэтому $a_x = -2{,}5$ м/с²:

$s = v_0 t - \dfrac{a t^2}{2} = 20 \cdot 8 - \dfrac{2{,}5 \cdot 8^2}{2} = 160 - 80 = 80$ м.

Ответ

80 м

Средний Задача 4

Тележка трогается с места и движется равноускоренно. За первые 2 с она прошла 3 м. Какой путь она пройдёт за следующие 2 с (от 2-й до 4-й секунды)?

Подсказка

Пути за последовательные равные промежутки времени относятся как 1 : 3 : 5…

Решение

Промежутки по 2 с одинаковы, движение без начальной скорости, поэтому пути относятся как $$1 : 3$$ .

За второй промежуток: $s_2 = 3 s_1 = 3 \cdot 3 = 9$ м.

Проверка через ускорение: $a = \dfrac{2 s_1}{t^2} = \dfrac{2 \cdot 3}{2^2} = 1{,}5$ м/с². За 4 с: $s = \dfrac{1{,}5 \cdot 4^2}{2} = 12$ м, значит за вторые 2 с — $$12 - 3 = 9$$ м.

Ответ

9 м

Сложный Задача 5

Поезд тормозит с постоянным ускорением. За 10 с торможения он прошёл 200 м, и его скорость уменьшилась до 15 м/с. Найдите начальную скорость поезда и модуль ускорения.

Подсказка

Перемещение равно средней скорости, умноженной на время: $s = \dfrac{v_0 + v}{2} t$ .

Решение

Дано

$$t = 10$$ с
$$s = 200$$ м
$$v = 15$$ м/с

Найти

$$v_0$$
$$a$$

$s = \dfrac{v_0 + v}{2} \cdot t$ , откуда $v_0 = \dfrac{2s}{t} - v = \dfrac{2 \cdot 200}{10} - 15 = 40 - 15 = 25$ м/с.

Ускорение: $a = \dfrac{v_0 - v}{t} = \dfrac{25 - 15}{10} = 1$ м/с².

Ответ

25 м/с; 1 м/с²

Сложный Задача 6

Тело движется равноускоренно из состояния покоя. Время движения увеличили в 3 раза. Во сколько раз выросло перемещение? Изменится ли ответ, если у тела была начальная скорость?

Подсказка

Посмотрите, как каждое слагаемое формулы $s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$ зависит от времени.

Решение

Без начальной скорости $s = \dfrac{a t^2}{2}$ — перемещение пропорционально квадрату времени, значит вырастет в $$3^2 = 9$$ раз.

С начальной скоростью так ответить нельзя: слагаемое $$v_0 t$$ вырастет в 3 раза, а $\dfrac{a t^2}{2}$ — в 9 раз. Во сколько раз вырастет сумма, зависит от соотношения $$v_0$$ и $$a$$ — нужны конкретные числа.

Ответ

В 9 раз; с начальной скоростью ответ зависит от v₀ и a, без чисел дать его нельзя

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол книгу под наклоном, пустите по ней с самого верха маленькую машинку или шарик и снимите на телефон в замедленном режиме. Отметьте, где шарик оказался через равные промежутки времени (по кадрам видео): отметки будут расходиться всё шире — примерно как 1, 3, 5, 7 длин первого отрезка. Так видно, что при разгоне тело за каждую следующую секунду проходит больше, чем за предыдущую, а общее расстояние растёт как квадрат времени. Если шарик подтолкнуть в начале, добавится «равномерная» часть $$v_0 t$$ — и формула станет $s = v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$ .

Вопросы для проверки понимания: Почему при торможении второе слагаемое вычитают? Во сколько раз вырастет перемещение тела, тронувшегося с места, если время движения удвоить? Чем «путь за вторую секунду» отличается от «пути за две секунды»?

На что обратить внимание. Самые частые ошибки — знак ускорения при торможении и скорость в км/ч вместо м/с. Попросите ребёнка перед подстановкой чисел проговорить, куда направлена ось и какой знак у $$a_x$$ , и перевести все величины в СИ.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 7	7
Физика. 9 класс (Перышкин, Гутник)	§ 8	8