Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 80

Задача 1

Условие (кратко)

Отрезок AB длины a разделён точками P и Q на отрезки AP, PQ, QB, причём AP = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка QB.

Решение

Дано

$$AB = a$$
точки идут в порядке $$A$$
$$P$$
$$Q$$
$$B$$
$$AP = 2PQ = 2QB$$

Найти

$$AK$$
где $$K$$ — середина $$QB$$

Обозначим $$PQ = QB = x$$ , тогда $$AP = 2x$$ и $$AB = 2x + x + x = 4x = a$$ , откуда $x = \dfrac{a}{4}$ .

$QK = \dfrac{x}{2}$ , поэтому $AK = AP + PQ + QK = 2x + x + \dfrac{x}{2} = \dfrac{7x}{2} = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{a}{4} = \dfrac{7}{8}a$ .

Ответ

7/8 a

Почему так

Длину отрезка находят как сумму длин частей, из которых он состоит; середина делит отрезок пополам.

Подробнее — в теме «Измерение отрезков».

Задача 2

Условие (кратко)

Отрезок AB длины a разделён точками P и Q на отрезки AP, PQ, QB, причём AP = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между серединами отрезков AP и QB.

Решение

Дано

$$AB = a$$
$$AP = 2PQ = 2QB$$

Найти

$$LK$$
где $$L$$ — середина $$AP$$
$$K$$ — середина $$QB$$

Как в пункте а), $PQ = QB = x = \dfrac{a}{4}$ , $$AP = 2x$$ .

$LP = \dfrac{AP}{2} = x$ , $QK = \dfrac{QB}{2} = \dfrac{x}{2}$ .

$LK = LP + PQ + QK = x + x + \dfrac{x}{2} = \dfrac{5x}{2} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{a}{4} = \dfrac{5}{8}a$ .

Ответ

5/8 a

Почему так

Расстояние между серединами складывается из половин крайних отрезков и среднего отрезка целиком.

Подробнее — в теме «Измерение отрезков».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-7-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-1/upr-80/