Что показывает длина отрезка?

Сколько раз единица измерения и её части укладываются в отрезке

Сколько точек лежит на отрезке

Сколько концов у отрезка

Во сколько раз отрезок короче прямой

Какие утверждения верны?

Равные отрезки имеют равные длины

Меньший отрезок имеет меньшую длину

Длину отрезка называют также расстоянием между его концами

Длина отрезка может быть отрицательной

Измерение отрезков — 7 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сравнение отрезков и углов

Коротко о главном

Длина отрезка — положительное число, которое показывает, сколько раз в отрезке укладывается единица измерения и её части. Если точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин частей.

\[AC + CB = AB\]

Подробное объяснение

Сколько шагов от двери до окна? Сколько клеточек занимает строчка в тетради? Отвечая на такие вопросы, мы на самом деле измеряем: берём «эталон» — шаг или клеточку — и считаем, сколько раз он помещается в нужном расстоянии. Так же измеряют отрезки в геометрии.

Длина отрезка

Сначала выбирают единицу измерения — отрезок, с которым будут сравнивать. Его ещё называют масштабным отрезком. Часто это 1 см. Если сантиметр укладывается в отрезке $$AB$$ ровно 2 раза, то длина $$AB$$ равна 2 см. Пишут коротко: $$AB = 2$$ см.

Если единица не уложилась целое число раз, остаётся кусочек — остаток. Тогда единицу делят на 10 равных частей (сантиметр — на миллиметры) и считают, сколько таких частей поместится в остатке. Сантиметр уложился 3 раза, миллиметр в остатке — 4 раза: длина 3,4 см. Если и миллиметр не укладывается целиком, длину записывают приближённо, например «около 3,8 см». На практике всегда пользуются приближёнными значениями.

Два важных свойства:

равные отрезки имеют равные длины;
меньший отрезок имеет меньшую длину.

Длина отрезка называется ещё расстоянием между его концами. Запись $$CD = kAB$$ означает, что отрезок $$CD$$ в $$k$$ раз длиннее отрезка $$AB$$ .

Точка делит отрезок

Пусть точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$ . Она делит его на два отрезка, $$AC$$ и $$CB$$ , и

\[AC + CB = AB.\]

Отсюда же находят неизвестную часть: $$CB = AB - AC$$ . На этом свойстве построено большинство задач темы. Середина отрезка делит его на две равные части: если $$C$$ — середина $$AB$$ , то $AC = CB = \dfrac{AB}{2}$ .

Если про три точки сказано лишь, что они лежат на одной прямой, неизвестно, какая из них в середине. Тогда нужно перебрать случаи — ответов бывает два.

Две схемы. Вверху точки A, B, C идут по порядку, B между A и C, и AC = AB + BC. Внизу порядок B, A, C, точка A между B и C, и AC = BC − AB. — Длина AC зависит от того, какая из трёх точек лежит между двумя другими.

Полезное следствие: у трёх точек одной прямой наибольший из трёх отрезков равен сумме двух других. Если это не так, точки на одной прямой не лежат.

Длина ломаной

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Длина замкнутой ломаной называется периметром многоугольника.

Единицы и инструменты

Основная единица длины — метр. В 1 м — 100 см, в 1 см — 10 мм, в 1 дм — 10 см, в 1 км — 1000 м. Мелкие расстояния на бумаге измеряют в сантиметрах и миллиметрах, комнату — в метрах, путь между городами — в километрах. Моряки используют морскую милю (1,852 км), астрономы — световой год, путь света за год. В старину на Руси мерили аршинами (0,7112 м) и саженями (2,1336 м).

Инструменты: масштабная миллиметровая линейка — для чертежей, штангенциркуль — для деталей (точность 0,1 мм), рулетка — для расстояний на местности.

Как решать задачи

Сделайте рисунок: прямая, точки в правильном порядке.
Переведите все длины в одни единицы.
Найдите точку, которая лежит между двумя другими, и запишите равенство вида $$AC + CB = AB$$ .
Если порядок точек не задан, разберите все случаи и отбросьте невозможные.
Проверьте ответ: части не длиннее целого, длина положительна.

Разобранные примеры

База

Найти часть отрезка

Условие

Точка $$D$$ лежит на отрезке $$KM$$ . Известно, что $$KM = 9{,}1$$ см, $$KD = 5{,}6$$ см. Найдите $$DM$$ .

Дано

$$D$$ лежит на $$KM$$
$$KM = 9{,}1$$ см
$$KD = 5{,}6$$ см

Найти

$$DM$$

Решение

Точка $$D$$ делит $$KM$$ на два отрезка, поэтому $$KD + DM = KM$$ . Значит, $$DM = KM - KD = 9{,}1 - 5{,}6 = 3{,}5$$ см.

Ответ: DM = 3,5 см

Средний

Длины в разных единицах

Условие

Точка $$B$$ — середина отрезка $$AC$$ , $$AB = 45$$ мм. Точка $$E$$ лежит на отрезке $$BC$$ , $$EC = 1{,}5$$ см. Найдите $$AE$$ в сантиметрах.

Дано

$$AB = BC$$
$$AB = 45$$ мм
$$E$$ на $$BC$$
$$EC = 1{,}5$$ см

Найти

$$AE$$

Решение

$$AB = 45$$ мм $$= 4{,}5$$ см, $$B$$ — середина, поэтому $$BC = 4{,}5$$ см.
$$BE = BC - EC = 4{,}5 - 1{,}5 = 3$$ см.
Точка $$B$$ лежит между $$A$$ и $$E$$ , поэтому $$AE = AB + BE = 4{,}5 + 3 = 7{,}5$$ см.

Ответ: AE = 7,5 см

Сложный

Два возможных ответа

Условие

Точки $$P$$ , $$Q$$ , $$R$$ лежат на одной прямой, $$PQ = 5$$ см, $$QR = 9$$ см. Каким может быть расстояние $$PR$$ ?

Дано

$$P$$
$$Q$$
$$R$$ на одной прямой
$$PQ = 5$$ см
$$QR = 9$$ см

Найти

$$PR$$

Решение

Одна из точек лежит между двумя другими.

$$Q$$ между $$P$$ и $$R$$ : $$PR = PQ + QR = 5 + 9 = 14$$ см.
$$P$$ между $$Q$$ и $$R$$ : $$QP + PR = QR$$ , откуда $$PR = 9 - 5 = 4$$ см.
$$R$$ между $$P$$ и $$Q$$ : тогда отрезок $$QR = 9$$ см был бы частью отрезка $$PQ = 5$$ см — невозможно.

Ответ: 14 см или 4 см

Типичные ошибки

Складывают длины в разных единицах

Почему неверно

Запись « $$AB = 4$$ мм, $$AC = 4$$ см, значит, $$BC = 4 - 4 = 0$$ » сравнивает миллиметры с сантиметрами. Числа одинаковые, а длины отличаются в 10 раз.

Как правильно

Сначала переведите всё в одни единицы: $$AC = 40$$ мм, $$BC = 40 - 4 = 36$$ мм.

Находят только один ответ

Почему неверно

Фраза «точки лежат на одной прямой» не говорит, в каком они порядке. Если сразу нарисовать точки в алфавитном порядке, второй возможный случай потеряется.

Как правильно

Переберите, какая точка лежит между двумя другими. Каждый случай проверьте: часть не может быть длиннее целого. Обычно остаётся два ответа.

Путают отрезок до середины с половиной всего отрезка

Почему неверно

Если $$O$$ — середина $$AC$$ , а $$C$$ — середина $$AB$$ , то $$OB$$ — это не половина $$AB$$ : в $$OB$$ входит половина $$AC$$ и весь $$CB$$ .

Как правильно

Отмечайте на рисунке каждую часть и складывайте по шагам: $$OB = OC + CB$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Точка K лежит на отрезке MN, MK = 4,6 см, KN = 3,9 см. Найдите длину отрезка MN.

Подсказка

Точка делит отрезок на две части, длины частей складываются.

Решение

Точка $$K$$ делит отрезок $$MN$$ на отрезки $$MK$$ и $$KN$$ , поэтому $$MN = MK + KN = 4{,}6 + 3{,}9 = 8{,}5$$ см.

Ответ

MN = 8,5 см

База Задача 2

Звенья ломаной ABCD равны AB = 2,5 см, BC = 4 см, CD = 3,5 см. Найдите длину ломаной.

Подсказка

Длина ломаной — сумма длин всех звеньев.

Решение

$$AB + BC + CD = 2{,}5 + 4 + 3{,}5 = 10$$ см.

Ответ

10 см

Средний Задача 3

Точка P лежит на отрезке ST длиной 1 дм, SP = 37 мм. Найдите PT в сантиметрах.

Подсказка

Сначала переведите обе длины в одни единицы.

Решение

$$ST = 1$$ дм $$= 100$$ мм. Точка $$P$$ делит $$ST$$ на части, поэтому $$PT = ST - SP = 100 - 37 = 63$$ мм $$= 6{,}3$$ см.

Ответ

PT = 6,3 см

Средний Задача 4

Точка O — середина отрезка EF, EF = 18 см. Точка K лежит на отрезке OF, OK = 5 см. Найдите EK и KF.

Подсказка

Найдите сначала EO и OF.

Решение

$$EO = OF = 18 : 2 = 9$$ см. Точка $$K$$ лежит между $$O$$ и $$F$$ , значит, $$KF = OF - OK = 9 - 5 = 4$$ см, а точка $$O$$ лежит между $$E$$ и $$K$$ , поэтому $$EK = EO + OK = 9 + 5 = 14$$ см. Проверка: $$EK + KF = 14 + 4 = 18$$ см.

Ответ

EK = 14 см, KF = 4 см

Сложный Задача 5

Точки X, Y, Z лежат на одной прямой, XY = 8 см, YZ = 11 см. Найдите все возможные значения XZ.

Подсказка

Переберите, какая из трёх точек лежит между двумя другими. Один из случаев невозможен.

Решение

Если $$Y$$ между $$X$$ и $$Z$$ , то $$XZ = 8 + 11 = 19$$ см. Если $$X$$ между $$Y$$ и $$Z$$ , то $$YX + XZ = YZ$$ и $$XZ = 11 - 8 = 3$$ см. Если $$Z$$ между $$X$$ и $$Y$$ , то $$YZ = 11$$ см было бы частью $$XY = 8$$ см — невозможно. Ответ: $$19$$ см или $$3$$ см.

Ответ

19 см или 3 см

Сложный Задача 6

Можно ли так расположить три точки на прямой, чтобы расстояния между ними были 6 см, 9 см и 14 см?

Подсказка

У трёх точек одной прямой наибольшее расстояние равно сумме двух других.

Решение

Если три точки лежат на одной прямой, одна из них между двумя другими, и тогда наибольший из трёх отрезков равен сумме двух других. Здесь $6 + 9 = 15 \ne 14$ , поэтому так расположить точки на прямой нельзя.

Ответ

Нельзя

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите полоску бумаги и линейку. Сначала измерьте полоску «скрепками»: сколько раз скрепка уложится. Потом линейкой в сантиметрах — и покажите, что миллиметры нужны для остатка. Затем согните полоску в любом месте, отрежьте и измерьте два куска: их сумма равна длине полоски. Это и есть главное свойство $$AC + CB = AB$$ .

Вопросы для проверки понимания: 1) Точка делит отрезок 10 см на два, один кусок 3 см. Какой второй? 2) Три точки на прямой, расстояния 2 см и 5 см. Каким может быть третье расстояние? 3) Сколько миллиметров в 2,5 см?

На что обратить внимание. Пусть ребёнок всегда рисует точки на прямой и подписывает длины — без рисунка легко потерять второй случай. Перед вычислением — одни единицы.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 7	29, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 8	27, 28, 30, 31, 32, 33, 34