Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе I, задание 83

Условие (кратко)

(Повышенной трудности.) Точки A, B, C лежат на одной прямой, M и N — середины отрезков AB и AC. Докажите, что BC = 2MN.

Решение

Дано: $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ лежат на одной прямой, $$M$$ — середина $$AB$$ , $$N$$ — середина $$AC$$ . Доказать: $$BC = 2MN$$ .

Точки $$M$$ и $$N$$ лежат на лучах $$AB$$ и $$AC$$ соответственно, $AM = \dfrac{AB}{2}$ , $AN = \dfrac{AC}{2}$ . Рассмотрим два случая.

$$B$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от $$A$$ (точка $$A$$ между $$B$$ и $$C$$ ). Тогда $$M$$ и $$N$$ тоже по разные стороны от $$A$$ , и $$BC = AB + AC$$ , $MN = AM + AN = \dfrac{AB}{2} + \dfrac{AC}{2} = \dfrac{AB + AC}{2} = \dfrac{BC}{2}$ .
$$B$$ и $$C$$ лежат по одну сторону от $$A$$ . Пусть, например, $AB \ge AC$ (иначе поменяем буквы). Тогда $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$ , $$BC = AB - AC$$ ; точки $$M$$ и $$N$$ на одном луче, $AN \le AM$ , и $MN = AM - AN = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AC}{2} = \dfrac{AB - AC}{2} = \dfrac{BC}{2}$ .

В обоих случаях $MN = \dfrac{BC}{2}$ , то есть $$BC = 2MN$$ . (Если $$B$$ совпадает с $$C$$ , то и $$M$$ совпадает с $$N$$ , равенство $$0 = 0$$ тоже верно.)

Ответ

Утверждение доказано, BC = 2MN в обоих случаях расположения точек

Почему так

Длины отрезков на прямой складываются или вычитаются в зависимости от того, по одну или по разные стороны от A лежат точки.

Подробнее — в теме «Измерение отрезков».

Задание 83

Задача 1