Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе I, задание 88

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Решение

Дано: прямые $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$ , $\angle AOB$ и $\angle COD$ вертикальные, $$OM$$ — биссектриса $\angle AOB$ , $$ON$$ — биссектриса $\angle COD$ . Доказать: лучи $$OM$$ и $$ON$$ лежат на одной прямой.

Вертикальные углы равны: $\angle AOB = \angle COD$ . Обозначим каждый из них $2\alpha$ , тогда $\angle MOB = \alpha$ и $\angle CON = \alpha$ .
Угол $$BOC$$ смежный с углом $$AOB$$ , поэтому $\angle BOC = 180^\circ - 2\alpha$ .
Угол $$MON$$ составлен из углов $$MOB$$ , $$BOC$$ и $$CON$$ : $\angle MON = \alpha + (180^\circ - 2\alpha) + \alpha = 180^\circ$ .
Угол $$MON$$ развёрнутый, значит, лучи $$OM$$ и $$ON$$ — дополнительные лучи одной прямой.

Ответ

Утверждение доказано, угол между биссектрисами вертикальных углов развёрнутый

Почему так

Вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180°, поэтому угол между биссектрисами равен 180°.

Подробнее — в теме «Смежные и вертикальные углы».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).