Какие утверждения верны?

Угол, смежный с острым, — тупой

Любые два равных угла — вертикальные

Два смежных угла могут быть оба тупыми

Смежные и вертикальные углы — 7 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Измерение углов

Коротко о главном

Смежные углы — два угла с общей стороной, у которых две другие стороны продолжают друг друга. Вертикальные углы — углы, стороны одного из которых продолжают стороны другого. Главные свойства:

\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \ \text{(смежные)}, \qquad \angle 1 = \angle 3 \ \text{(вертикальные)}

Подробное объяснение

Откройте книгу и положите её на стол. Обложка и стол образуют угол, а если продолжить линию стола за корешок, рядом появится второй угол. Чем шире открыта книга, тем больше первый угол и тем меньше второй. Вместе они всегда составляют прямую линию — развёрнутый угол. Это и есть смежные углы.

Смежные углы

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Например, точка O лежит на прямой AC, а луч OB выходит из O в сторону. Тогда углы AOB и BOC смежные: сторона OB общая, а лучи OA и OC продолжают друг друга.

Слева на прямой AC точка O и луч OB, углы AOB 120° и BOC 60°. Справа две пересекающиеся прямые, равные вертикальные углы 1 и 3, 2 и 4 выделены одним цветом. — Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные углы равны.

Лучи OA и OC образуют развёрнутый угол, а он равен $180^\circ$ . Луч OB делит его на две части, поэтому

\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$ . Отсюда сразу следует:

смежный с острым углом — тупой, и наоборот;
смежный с прямым углом — тоже прямой;
если смежные углы равны, каждый из них равен $90^\circ$ .

Важно: у двух углов может быть общая сторона, но если две другие стороны не лежат на одной прямой, углы не смежные.

Вертикальные углы

Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла. Обозначим их по кругу 1, 2, 3, 4. Углы 1 и 3 лежат «напротив» друг друга: стороны угла 3 — это продолжения сторон угла 1. Такие углы называются вертикальными. Углы 2 и 4 — тоже вертикальные.

Почему они равны? Угол 2 смежный и с углом 1, и с углом 3. Поэтому $\angle 1 = 180^\circ - \angle 2$ и $\angle 3 = 180^\circ - \angle 2$ . Правые части одинаковые, значит, $\angle 1 = \angle 3$ .

Вертикальные углы равны.

Получается, что у двух пересекающихся прямых всего два разных значения углов: два равных угла одной величины и два равных угла другой, а соседние углы в сумме дают $180^\circ$ . Все четыре угла вместе составляют $360^\circ$ .

Как решать задачи

Найдите на чертеже смежные пары (общая сторона, две другие на одной прямой) и вертикальные пары (стороны продолжают друг друга).
Запишите равенства: смежные — «сумма $180^\circ$ », вертикальные — «углы равны».
Если известна разность или отношение углов, обозначьте меньший угол через $$x$$ и составьте уравнение.
В ответе с минутами помните: $1^\circ = 60'$ , поэтому $180^\circ = 179^\circ 60'$ .
Проверьте: сумма смежных — ровно $180^\circ$ , все четыре угла при пересечении — $360^\circ$ .

Разобранные примеры

База

Угол, смежный с данным

Условие

Угол KLM равен $38^\circ$ . Найдите угол, смежный с ним.

Дано

$\angle KLM = 38^\circ$

Найти

смежный угол

Решение

Сумма смежных углов $180^\circ$ , значит, искомый угол равен $180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$ .

Ответ: 142°

Средний

Смежные углы в отношении 2 : 3

Условие

Смежные углы относятся как 2 к 3. Найдите их.

Дано

углы смежные
их отношение $$2 : 3$$

Найти

оба угла

Решение

Пусть углы равны $$2x$$ и $$3x$$ . Тогда $2x + 3x = 180^\circ$ , $5x = 180^\circ$ , $x = 36^\circ$ . Углы: $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$ и $3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$ .

Ответ: 72° и 108°

Сложный

Сумма трёх углов при пересечении прямых

Условие

Две прямые пересекаются. Сумма трёх из образовавшихся углов равна $300^\circ$ . Найдите все четыре угла.

Дано

сумма трёх углов из четырёх равна $300^\circ$

Найти

все углы

Решение

Все четыре угла дают $360^\circ$ , поэтому четвёртый угол равен $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$ .
Вертикальный ему угол тоже $60^\circ$ .
Два других угла смежны с ним: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .

Проверка: $60^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 300^\circ$ .

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Типичные ошибки

Считают смежными любые два соседних угла

Почему неверно

Общей стороны мало. Если лучи OA, OB, OC выходят из одной точки, но OA и OC не лежат на одной прямой, то углы AOB и BOC просто соседние, их сумма не обязана быть $180^\circ$ .

Как правильно

Проверьте второе условие: две не общие стороны должны образовать прямую линию (развёрнутый угол). Только тогда сумма равна $180^\circ$ .

Принимают равные углы за вертикальные

Почему неверно

Вертикальные углы равны, но обратное неверно: два равных угла в разных местах чертежа не обязаны быть вертикальными. А при трёх прямых, пересекающихся в одной точке, углы «напротив» бывают не вертикальными, если их стороны лежат на разных прямых.

Как правильно

Углы вертикальные, только если каждая сторона одного угла продолжает сторону другого — обе пары сторон лежат на двух прямых.

Ошибаются при вычитании минут

Почему неверно

Записывают $180^\circ - 43^\circ 27' = 137^\circ 27'$ или $136^\circ 73'$ , забывая, что в градусе 60 минут, а не 100.

Как правильно

Займите один градус: $180^\circ = 179^\circ 60'$ , тогда $179^\circ 60' - 43^\circ 27' = 136^\circ 33'$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Один из смежных углов равен $47^\circ$ . Найдите другой угол.

Подсказка

Сумма смежных углов равна $180^\circ$ .

Решение

Смежные углы в сумме дают $180^\circ$ , поэтому второй угол равен $180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$ .

Ответ

133°

База Задача 2

Две прямые пересекаются, один из образовавшихся углов равен $35^\circ$ . Найдите остальные три угла.

Подсказка

Угол, вертикальный данному, равен ему, а соседние с ним углы — смежные.

Решение

Вертикальный угол равен данному: $35^\circ$ .
Два других угла смежны с данным: $180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$ каждый.

Ответ

35°, 145°, 145°

Средний Задача 3

Смежные углы относятся как $$7 : 2$$ . Найдите эти углы.

Подсказка

Сумма смежных углов $180^\circ$ состоит из $$7 + 2 = 9$$ равных частей.

Решение

Пусть углы равны $$7x$$ и $$2x$$ . Тогда $7x + 2x = 180^\circ$ , $9x = 180^\circ$ , $x = 20^\circ$ .

Углы равны $7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$ и $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$ .

Ответ

140° и 40°

Средний Задача 4

При пересечении двух прямых один из углов на $50^\circ$ больше другого. Найдите все четыре угла.

Подсказка

Если бы эти углы были вертикальными, они были бы равны. Значит, они смежные.

Решение

Вертикальные углы равны, а здесь углы разные — значит, это смежные углы, их сумма $180^\circ$ .
Пусть меньший угол $$x$$ , тогда больший $x + 50^\circ$ ; $2x + 50^\circ = 180^\circ$ , $x = 65^\circ$ .
Больший угол $115^\circ$ . Вертикальные к ним углы такие же: $65^\circ$ и $115^\circ$ .

Ответ

65°, 115°, 65°, 115°

Сложный Задача 5

Углы AOB и BOC смежные. Докажите, что биссектрисы этих углов образуют прямой угол.

Подсказка

Угол между биссектрисами составлен из половин двух смежных углов.

Решение

Пусть OM — биссектриса угла AOB, ON — биссектриса угла BOC.

$\angle MOB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$ , $\angle BON = \dfrac{1}{2}\angle BOC$ .
Луч OB лежит между лучами OM и ON, поэтому $\angle MON = \angle MOB + \angle BON = \dfrac{1}{2}(\angle AOB + \angle BOC)$ .
Углы смежные, их сумма $180^\circ$ , значит, $\angle MON = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ .

Ответ

Угол между биссектрисами равен 90°

Сложный Задача 6

Луч OM — биссектриса угла AOB. Угол между лучом OM и продолжением стороны OA за вершину O равен $125^\circ$ . Найдите угол AOB.

Подсказка

Продолжение луча OA вместе с лучом OA образует развёрнутый угол, а угол AOM смежный с данным.

Решение

Пусть OA' — продолжение луча OA за точку O.

Углы AOM и MOA' смежные, поэтому $\angle AOM = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$ .
OM — биссектриса, значит, $\angle AOB = 2 \cdot 55^\circ = 110^\circ$ .

Ответ

110°

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол линейку и поверните вокруг её середины карандаш — получатся два смежных угла: как ни поворачивай карандаш, вместе они дают прямую линию, 180°. Потом скрестите два карандаша ножницами: противоположные углы при любом раскрытии одинаковые — это вертикальные углы. Вопросы для проверки понимания: 1) Каким будет угол, смежный с углом 100°? 2) Почему два смежных угла не могут быть оба тупыми? 3) Две прямые пересекаются, один угол 30°. Какие остальные? На что обратить внимание. Ребёнок должен проверять оба признака смежных углов, а не только общую сторону, и уверенно переводить градусы в минуты (1° = 60′).

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 11	58, 59, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71