Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе I, задание 89

Условие (кратко)

(Повышенной трудности.) Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой.

Решение

Дано: $$BM$$ — биссектриса $\angle ABC$ , $$BN$$ — биссектриса $\angle CBD$ , $BM \perp BN$ . Доказать: $$A$$ , $$B$$ , $$D$$ лежат на одной прямой.

Углы $$ABC$$ и $$CBD$$ имеют общую сторону $$BC$$ и лежат по разные стороны от неё: иначе их биссектрисы образовали бы угол меньше $90^\circ$ (он равнялся бы полуразности углов, а каждый угол меньше $180^\circ$ ).
Обозначим $\angle ABM = \angle MBC = \alpha$ , $\angle CBN = \angle NBD = \beta$ . Луч $$BC$$ лежит между $$BM$$ и $$BN$$ , поэтому $\angle MBN = \alpha + \beta = 90^\circ$ .
Угол $$ABD$$ составлен из углов $$ABM$$ , $$MBC$$ , $$CBN$$ , $$NBD$$ : $\angle ABD = 2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$ .
Угол $$ABD$$ развёрнутый, значит, лучи $$BA$$ и $$BD$$ дополняют друг друга до прямой, и точки $$A$$ , $$B$$ , $$D$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Утверждение доказано, угол ABD развёрнутый, поэтому A, B, D на одной прямой

Почему так

Угол ABD вдвое больше угла между биссектрисами, то есть 2 · 90° = 180° — он развёрнутый.

Подробнее — в теме «Измерение углов».

Задание 89