Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Углы измеряют в градусах: градус — это \(\dfrac{1}{180}\) часть развёрнутого угла. Если луч делит угол на два угла, то весь угол равен их сумме.
Подробное объяснение
Длину отрезка мы узнаём, укладывая в нём сантиметр. С углами так же: выбирают маленький угол-эталон и считают, сколько раз он укладывается в измеряемом угле.
Градус, минута, секунда
Эталон — градус (пишется \(1^\circ\)). Если развёрнутый угол разрезать на 180 равных частей, одна часть и есть градус. Поэтому развёрнутый угол равен \(180^\circ\).
Градус делят на более мелкие доли:
- минута — \(\dfrac{1}{60}\) градуса, обозначается \('\): \(1^\circ = 60'\);
- секунда — \(\dfrac{1}{60}\) минуты, обозначается \(''\): \(1' = 60''\).
Запись \(60^\circ 32' 17''\) читают так: 60 градусов 32 минуты 17 секунд. Число, которое показывает, сколько градусов и их частей укладывается в угле, называют градусной мерой угла. Говорят коротко: «угол AOB равен \(150^\circ\)», пишут \(\angle AOB = 150^\circ\).
Важно: в градусе 60 минут, а не 100. Поэтому \(10^\circ 75'\) надо переписать как \(11^\circ 15'\).
Как измерить угол транспортиром
- Совместите центр транспортира с вершиной угла.
- Нулевое деление поверните вдоль одной стороны угла.
- Посмотрите, против какого деления проходит другая сторона. Читайте ту шкалу, на которой у первой стороны стоит ноль.
На местности углы измеряют прибором покрупнее — астролябией. Это диск с градусами и вращающаяся линейка с прорезями (алидада). Алидаду наводят сначала на один предмет, потом на другой; разность двух отсчётов и есть угол.
Свойства градусной меры
- Равные углы имеют равные градусные меры. Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
- Неразвёрнутый угол всегда меньше \(180^\circ\).
- Если луч проходит внутри угла и делит его на два угла, градусная мера всего угла равна сумме мер частей.
- Биссектриса делит угол на два равных угла, каждый — половина всего угла.
Виды углов
- острый — меньше \(90^\circ\);
- прямой — ровно \(90^\circ\), на чертеже его отмечают квадратиком;
- тупой — больше \(90^\circ\), но меньше \(180^\circ\);
- развёрнутый — ровно \(180^\circ\), его стороны лежат на одной прямой.
Прямые углы вокруг нас повсюду: угол листа тетради, угол стола, линия стыка стены и пола.
Как решать задачи
- Найдите на чертеже, какой луч делит какой угол на части.
- Запишите равенство: весь угол = сумма частей.
- Если части выражены друг через друга («на 18° больше», «в 3 раза больше»), обозначьте меньшую часть через \(x\) и составьте уравнение.
- С минутами складывайте отдельно градусы и минуты; 60 минут переводите в градус. При вычитании, если минут не хватает, займите один градус — это 60 минут.
- Проверьте ответ: части не больше целого угла, неразвёрнутый угол меньше \(180^\circ\).
Разобранные примеры
Сложение углов с минутами
Луч OM делит угол KOL на два угла: \(\angle KOM = 35^\circ 48'\), \(\angle MOL = 27^\circ 35'\). Найдите угол KOL.
- \(\angle KOM = 35^\circ 48'\)
- \(\angle MOL = 27^\circ 35'\)
- \(\angle KOL\)
Так как луч OM делит угол KOL на два угла, \(\angle KOL = \angle KOM + \angle MOL\).
Складываем градусы и минуты отдельно: \(35^\circ + 27^\circ = 62^\circ\), \(48' + 35' = 83'\). Так как \(83' = 1^\circ 23'\), получаем \(62^\circ + 1^\circ 23' = 63^\circ 23'\).
Одна часть больше другой
Луч OC делит угол AOB, равный \(100^\circ\), на два угла. Угол COB на \(24^\circ\) больше угла AOC. Найдите оба угла.
- \(\angle AOB = 100^\circ\)
- \(\angle COB = \angle AOC + 24^\circ\)
- \(\angle AOC\)
- \(\angle COB\)
Пусть \(\angle AOC = x\), тогда \(\angle COB = x + 24^\circ\). Весь угол равен сумме частей:
\(x + x + 24^\circ = 100^\circ\), \(2x = 76^\circ\), \(x = 38^\circ\).
\(\angle COB = 38^\circ + 24^\circ = 62^\circ\). Проверка: \(38^\circ + 62^\circ = 100^\circ\).
Угол между биссектрисами
Луч OC проходит внутри угла AOB, равного \(150^\circ\). OM — биссектриса угла AOC, ON — биссектриса угла COB. Найдите угол MON.
- \(\angle AOB = 150^\circ\)
- OM и ON — биссектрисы углов AOC и COB
- \(\angle MON\)
Луч OC делит угол MON на углы MOC и CON. Биссектриса делит угол пополам, поэтому \(\angle MOC = \dfrac{1}{2}\angle AOC\), \(\angle CON = \dfrac{1}{2}\angle COB\).
\(\angle MON = \dfrac{1}{2}(\angle AOC + \angle COB) = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{150^\circ}{2} = 75^\circ\).
Положение луча OC внутри угла на ответ не влияет.
Типичные ошибки
Минута — это \(\dfrac{1}{60}\) градуса, а не сотая. Запись \(20^\circ 30'\) — это двадцать с половиной градусов, а не \(20{,}3^\circ\). Ошибка особенно частая при сложении: \(40' + 30' = 70'\) превращают в «\(0^\circ 70'\)» или переносят единицу только после 100.
Как только минут набралось 60 или больше, отнимите 60 и прибавьте градус: \(15^\circ 70' = 16^\circ 10'\). При вычитании занимайте градус как 60 минут: \(50^\circ 10' - 20^\circ 40' = 49^\circ 70' - 20^\circ 40' = 29^\circ 30'\).
У транспортира две шкалы: одна идёт от 0 справа, другая — от 0 слева. Острый угол можно ошибочно прочитать как, например, \(140^\circ\) вместо \(40^\circ\).
Читайте ту шкалу, на которой у первой стороны угла стоит 0. И прикиньте на глаз: если угол явно меньше прямого, ответ меньше \(90^\circ\).
Тупой угол больше \(90^\circ\), но обязательно меньше \(180^\circ\). Угол в \(180^\circ\) — отдельный вид, развёрнутый.
Запомните четыре вида по границам: меньше 90° — острый, ровно 90° — прямой, между 90° и 180° — тупой, ровно 180° — развёрнутый.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какой угол называют тупым?
Показать ответ
Ответ: В) Угол больше 90°, но меньше 180°
Тупой угол больше прямого (\(90^\circ\)), но меньше развёрнутого (\(180^\circ\)).
-
Какие из углов острые?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) 89°; Б) 1°30′
Острый угол меньше \(90^\circ\). Угол \(90^\circ\) прямой, \(179^\circ\) — тупой.
-
Сколько минут в четверти градуса?
Показать ответ
Ответ: 15
\(1^\circ = 60'\), четверть градуса — \(60' \div 4 = 15'\).
-
Луч делит угол на два угла, \(25^\circ 40'\) и \(34^\circ 20'\). Сколько градусов во всём угле?
Показать ответ
Ответ: 60
\(25^\circ 40' + 34^\circ 20' = 59^\circ 60' = 60^\circ\).
-
Луч OA — биссектриса угла BOC, \(\angle AOB = 70^\circ\). Чему равен угол BOC и какой он?
Показать ответ
Ответ: В) 140°, тупой
Биссектриса делит угол пополам, поэтому \(\angle BOC = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ\) — это тупой угол.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Луч OC делит угол AOB на два угла, \(\angle AOC = 47^\circ 35'\), \(\angle COB = 38^\circ 40'\). Найдите угол AOB.
Подсказка
Сложите отдельно градусы и отдельно минуты; 60 минут — это один градус.
Решение
\(\angle AOB = 47^\circ 35' + 38^\circ 40' = 85^\circ 75' = 86^\circ 15'\), потому что \(75' = 1^\circ 15'\).
Ответ
Сколько минут в угле \(3^\circ 15'\)?
Подсказка
В одном градусе 60 минут.
Решение
\(3^\circ = 3 \cdot 60' = 180'\), всего \(180' + 15' = 195'\).
Ответ
Луч делит прямой угол на два угла, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.
Подсказка
Обозначьте меньший угол через x, тогда больший равен 4x, а вместе они дают 90°.
Решение
Пусть меньший угол \(x\), больший \(4x\). Тогда \(x + 4x = 90^\circ\), \(5x = 90^\circ\), \(x = 18^\circ\), больший угол \(4 \cdot 18^\circ = 72^\circ\).
Ответ
Луч OC делит развёрнутый угол AOB на два угла, \(\angle AOC = 63^\circ 47'\). Найдите угол COB.
Подсказка
Развёрнутый угол равен 180°. Займите один градус и превратите его в 60 минут.
Решение
\(\angle COB = 180^\circ - 63^\circ 47' = 179^\circ 60' - 63^\circ 47' = 116^\circ 13'\).
Ответ
Луч OC проходит внутри угла AOB, равного \(128^\circ 34'\). Найдите угол между биссектрисами углов AOC и COB.
Подсказка
Угол между биссектрисами состоит из половины угла AOC и половины угла COB.
Решение
Пусть \(\angle AOC = x\), \(\angle COB = y\), тогда \(x + y = 128^\circ 34'\). Биссектриса делит каждый угол пополам, а угол между биссектрисами складывается из половин: \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = \dfrac{x + y}{2}\).
\(\dfrac{128^\circ 34'}{2} = 64^\circ 17'\). Ответ не зависит от того, где проходит луч OC.
Ответ
Может ли луч разделить угол на два тупых угла? А на два острых угла так, чтобы весь угол был тупым?
Подсказка
Сравните сумму двух тупых углов со 180°.
Решение
Каждый тупой угол больше \(90^\circ\), значит, два тупых угла вместе больше \(180^\circ\). А любой угол не больше развёрнутого, то есть не больше \(180^\circ\). Поэтому на два тупых угла луч угол не разделит.
Два острых угла вместе могут дать тупой: \(50^\circ + 60^\circ = 110^\circ\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги: его угол — прямой, \(90^\circ\). Сложите лист пополам по диагонали угла — получится половина прямого, \(45^\circ\). Раскройте ножницы на разный угол и попросите ребёнка сказать, острый он, прямой или тупой, сверяя с углом листа. Раскройте книгу «в линию» — это развёрнутый угол, \(180^\circ\). Если есть транспортир, измерьте несколько углов вместе.
Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько минут в одном градусе и сколько градусов в развёрнутом угле? 2) Может ли тупой угол быть равен \(180^\circ\)? 3) Луч делит угол \(80^\circ\) пополам — какие получатся углы?
На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно переводить минуты в градусы (60, а не 100) и знать, какую шкалу транспортира читать. Полезно приучить к прикидке: острый угол на чертеже не может «весить» \(120^\circ\).