Задача 1
Прямые a и b пересекаются, точка A не лежит на них. Через A проведены прямые m и n, m ⊥ a, n ⊥ b. Докажите, что m и n не совпадают.
Решение
Дано: прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(O\), точка \(A\) не лежит на \(a\) и \(b\), \(A \in m\), \(A \in n\), \(m \perp a\), \(n \perp b\). Доказать: прямые \(m\) и \(n\) не совпадают.
Докажем от противного. Пусть \(m\) и \(n\) совпадают — это одна прямая \(m\). Тогда \(m \perp a\) и \(m \perp b\).
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (п. 12): если бы \(a\) и \(b\), обе перпендикулярные к \(m\), имели общую точку, то из неё к прямой \(m\) были бы проведены два разных перпендикуляра, а это невозможно.
Но по условию \(a\) и \(b\) пересекаются — противоречие. Значит, наше предположение неверно, и прямые \(m\) и \(n\) не совпадают.
Ответ
Две прямые, перпендикулярные к одной прямой, не пересекаются, а a и b пересекаются.
Подробнее — в теме «Перпендикулярные прямые».