Какие утверждения верны?

Если один из четырёх углов при пересечении прямых прямой, то и остальные прямые

Перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла

Угол между прямыми может быть тупым

Как читается запись AC \perp BD?

Прямая AC параллельна прямой BD

Отрезок AC равен отрезку BD

Прямые AC и BD совпадают

Перпендикулярные прямые — 7 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Смежные и вертикальные углы

Коротко о главном

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Записывают так:

AC \perp BD

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Подробное объяснение

Посмотрите на оконную раму или на клетки тетради: вертикальные и горизонтальные линии пересекаются «ровно», все углы между ними одинаковые. Такие прямые в геометрии называют перпендикулярными.

Угол между прямыми

Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых угла: два равных вертикальных угла одной величины и два — другой. Угол между пересекающимися прямыми — это наименьший из них (точнее, тот, что не больше каждого из остальных). Если прямые дают углы $70^\circ$ и $110^\circ$ , угол между ними $70^\circ$ . Поэтому угол между прямыми никогда не бывает больше $90^\circ$ .

Перпендикулярные прямые

Пусть один из четырёх углов прямой. Тогда вертикальный ему тоже $90^\circ$ , а два соседних смежны с прямым: $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ . Значит, если один угол прямой, то и все четыре прямые.

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. Запись $AC \perp BD$ читается: «прямая AC перпендикулярна к прямой BD». На чертеже прямой угол отмечают маленьким квадратиком.

Слева прямые AC и BD пересекаются в точке O под прямым углом, отмечен квадратиком. Справа прямые a и b перпендикулярны прямой c и не пересекаются. — Перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла; две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Две прямые, перпендикулярные к третьей

Пусть прямые a и b перпендикулярны прямой c. Они не пересекаются. Почему? Представьте, что чертёж перегнули по прямой c. Прямые углы совпадут, поэтому верхняя половина прямой a ляжет на её нижнюю половину, и с прямой b будет так же. Если бы a и b пересекались в точке M выше c, то при перегибе M наложилась бы на точку $$M_1$$ ниже c, тоже общую для обеих прямых. Тогда через две точки M и $$M_1$$ проходили бы две разные прямые, а это невозможно. Значит, a и b не пересекаются.

Отсюда следствие: через одну точку нельзя провести две разные прямые, перпендикулярные одной и той же прямой.

Как провести перпендикуляр на бумаге

Нужны линейка и чертёжный угольник. Приложите линейку к прямой, поставьте угольник одним катетом на линейку и двигайте, пока второй катет не пройдёт через нужную точку. Проведите прямую по второму катету — она перпендикулярна данной, потому что катеты угольника образуют прямой угол.

Прямой угол на местности

Чтобы разбить прямоугольную грядку или фундамент, угольник не подойдёт — нужен большой прибор. Простейший из них — экер: два бруска, скреплённые под прямым углом на треножнике, на концах брусков вбиты гвозди. Треножник ставят так, чтобы отвес висел точно над точкой O. Один брусок направляют вдоль луча OA (его отмечают вехой), а по направлению второго бруска ставят вехи и провешивают прямую OB. Угол AOB получается прямым. Геодезисты пользуются более точным прибором — теодолитом.

Как решать задачи

Если в условии сказано, что прямые перпендикулярны, сразу отметьте все четыре угла по $90^\circ$ .
Угол между прямыми — наименьший из образованных углов; если найден тупой угол, возьмите смежный.
Чтобы доказать перпендикулярность, достаточно показать, что хотя бы один угол прямой.
Если в задаче две прямые перпендикулярны одной и той же прямой — они не пересекаются; часто это даёт противоречие при доказательстве от противного.

Разобранные примеры

База

Угол между прямыми

Условие

При пересечении двух прямых образовался угол $104^\circ$ . Найдите угол между прямыми.

Дано

один из углов равен $104^\circ$

Найти

угол между прямыми

Решение

Смежный с ним угол равен $180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$ . Прямые образуют два угла по $104^\circ$ и два по $76^\circ$ ; наименьший — $76^\circ$ .

Ответ: 76°

Средний

Луч внутри прямого угла

Условие

Прямые AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Луч OM лежит внутри угла AOB, причём угол AOM в 3 раза больше угла MOB. Найдите эти углы.

Дано

$AC \perp BD$
$\angle AOM = 3\angle MOB$

Найти

$\angle AOM$
$\angle MOB$

Решение

Прямые перпендикулярны, значит, $\angle AOB = 90^\circ$ .
Пусть $\angle MOB = x$ , тогда $\angle AOM = 3x$ и $4x = 90^\circ$ , $x = 22{,}5^\circ = 22^\circ 30'$ .
$\angle AOM = 3 \cdot 22^\circ 30' = 67^\circ 30'$ .

Ответ: ∠AOM = 67°30′, ∠MOB = 22°30′

Сложный

Доказательство перпендикулярности

Условие

Прямые AB и CD пересекаются в точке O, и $\angle AOC + \angle BOD = 180^\circ$ . Докажите, что $AB \perp CD$ .

Решение

Дано: прямые AB и CD пересекаются в точке O, $\angle AOC + \angle BOD = 180^\circ$ . Доказать: $AB \perp CD$ .

Лучи OB и OD — продолжения лучей OA и OC, поэтому углы AOC и BOD вертикальные и равны.
Два равных угла в сумме дают $180^\circ$ , значит, каждый равен $90^\circ$ .
Один из углов при пересечении прямой, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: AB ⊥ CD — доказано

Типичные ошибки

Называют углом между прямыми тупой угол

Почему неверно

При пересечении прямых получаются два разных значения углов, например $50^\circ$ и $130^\circ$ . Угол между прямыми — только меньший из них.

Как правильно

Если нашли тупой угол, вычтите его из $180^\circ$ : угол между прямыми всегда не больше $90^\circ$ .

Проверяют перпендикулярность «на глаз»

Почему неверно

Угол в $85^\circ$ на чертеже почти не отличить от прямого. Прямые на рисунке могут выглядеть перпендикулярными, но по условию такими не быть — и наоборот.

Как правильно

Перпендикулярность берут из условия или доказывают через углы, а на бумаге проверяют чертёжным угольником.

Думают, что через точку можно провести несколько перпендикуляров к одной прямой

Почему неверно

Две прямые, перпендикулярные одной прямой, не пересекаются, поэтому через одну точку не могут проходить две такие прямые.

Как правильно

Через данную точку проходит не больше одной прямой, перпендикулярной данной прямой.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Две прямые пересекаются, и один из образовавшихся углов прямой. Чему равны остальные три угла?

Подсказка

Соседние углы смежные, противоположный — вертикальный.

Решение

Вертикальный угол равен данному: $90^\circ$ .
Соседние углы смежные с прямым: $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ .

Все четыре угла прямые — прямые перпендикулярны.

Ответ

Все три угла по 90°

База Задача 2

При пересечении двух прямых один из углов равен $130^\circ$ . Найдите угол между этими прямыми.

Подсказка

Угол между прямыми — наименьший из четырёх углов.

Решение

Прямые образуют углы $130^\circ$ (два вертикальных) и $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ (два других). Угол между прямыми — меньший: $50^\circ$ .

Ответ

50°

Средний Задача 3

Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите угол между прямыми.

Подсказка

Разные углы при пересечении двух прямых — смежные.

Решение

Разные углы не могут быть вертикальными, значит, они смежные. Пусть меньший угол $$x$$ , тогда $x + 4x = 180^\circ$ , $x = 36^\circ$ . Угол между прямыми — меньший, $36^\circ$ .

Ответ

36°

Средний Задача 4

Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Луч OK лежит внутри угла BOC, $\angle BOK = 28^\circ$ . Найдите углы KOC и AOK.

Подсказка

Угол BOC прямой, а лучи OA и OB образуют развёрнутый угол.

Решение

$AB \perp CD$ , поэтому $\angle BOC = 90^\circ$ и $\angle KOC = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$ .
Углы AOK и KOB смежные, поэтому $\angle AOK = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$ .

Ответ

∠KOC = 62°, ∠AOK = 152°

Сложный Задача 5

Из точки O выходят лучи OA, OC, OB, OD (в таком порядке), причём $\angle AOB = 90^\circ$ и $\angle COD = 90^\circ$ . Докажите, что $\angle AOC = \angle BOD$ .

Подсказка

Оба угла дополняют один и тот же угол COB до прямого.

Решение

Луч OC лежит внутри прямого угла AOB, поэтому $\angle AOC = 90^\circ - \angle COB$ .
Луч OB лежит внутри прямого угла COD, поэтому $\angle BOD = 90^\circ - \angle COB$ .
Правые части равны, значит, $\angle AOC = \angle BOD$ .

Ответ

Доказано — оба угла равны 90° минус ∠COB

Сложный Задача 6

Прямые a и b перпендикулярны прямой c и не совпадают. Прямая d пересекает прямую a в некоторой точке. Может ли прямая d, отличная от a, быть перпендикулярной прямой c?

Подсказка

Вспомните, что можно сказать о двух прямых, перпендикулярных к третьей.

Решение

Предположим, что $d \perp c$ . Тогда прямые a и d обе перпендикулярны к c, а две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Но d пересекает a — противоречие. Значит, d не может быть перпендикулярна c.

Ответ

Нет, не может

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги и сложите его пополам, а потом ещё раз так, чтобы линия сгиба легла сама на себя. Разверните: два сгиба перпендикулярны, все четыре угла одинаковые, по 90°, — проверьте уголком другого листа. Потом проведите в тетради две вертикальные линии по клеткам: обе перпендикулярны горизонтальной и не пересекаются. Вопросы для проверки понимания: 1) Прямые пересекаются под углом 120° и 60°. Каков угол между ними? 2) Если один угол при пересечении прямых равен 90°, чему равны остальные? 3) Могут ли две разные прямые, перпендикулярные третьей, пересечься? На что обратить внимание. Угол между прямыми не бывает тупым; перпендикулярность нельзя «увидеть», её берут из условия или доказывают.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 12	61, 72, 73, 74
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 13	—