Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 91

Дополнительные задачи к главе I

Задача 1

Условие (кратко)

Прямоугольник сложили из двух квадратов с периметром 8 см каждый. Найдите площадь и периметр прямоугольника.

Решение

Дано

два квадрата с периметром 8 см

Найти

площадь $$S$$ и периметр $$P$$ прямоугольника

Сторона квадрата: $$8 : 4 = 2$$ см. Два квадрата можно сложить только в ряд, получится прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см.

Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон (указание учебника): $S = 2 \cdot 4 = 8$ см².

$P = 2 \cdot (2 + 4) = 12$ см.

Ответ

S = 8 см², P = 12 см

Почему так

Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон, периметр — сумме длин всех сторон.

Подробнее — в теме «Измерение отрезков».

Задача 2

Условие (кратко)

Прямоугольник сложили из трёх квадратов с периметром 8 см каждый. Найдите площадь и периметр прямоугольника.

Решение

Дано

три квадрата с периметром 8 см

Найти

$$S$$ и $$P$$ прямоугольника

Сторона квадрата 2 см. Из трёх квадратов прямоугольник получается, только если положить их в ряд: стороны 2 см и 6 см.

$S = 2 \cdot 6 = 12$ см² (это и три площади квадрата по 4 см²).

$P = 2 \cdot (2 + 6) = 16$ см.

Ответ

S = 12 см², P = 16 см

Почему так

Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон, периметр — сумме длин всех сторон.

Подробнее — в теме «Измерение отрезков».

Задача 3

Условие (кратко)

Прямоугольник сложили из четырёх квадратов с периметром 8 см каждый. Найдите площадь и периметр прямоугольника.

Решение

Дано

четыре квадрата с периметром 8 см

Найти

$$S$$ и $$P$$ прямоугольника

Сторона квадрата 2 см, площадь квадрата $2 \cdot 2 = 4$ см². Площадь не зависит от способа сложения: $S = 4 \cdot 4 = 16$ см².

Сложить можно двумя способами.

В ряд: стороны 2 см и 8 см, $S = 2 \cdot 8 = 16$ см², $P = 2 \cdot (2 + 8) = 20$ см.
Два ряда по два квадрата: стороны 4 см и 4 см (квадрат — тоже прямоугольник), $S = 4 \cdot 4 = 16$ см², $P = 2 \cdot (4 + 4) = 16$ см.

Ответ

S = 16 см²; P = 20 см (в один ряд) или 16 см (два ряда по два)

Почему так

Площадь фигуры, сложенной из частей, равна сумме их площадей, а периметр зависит от того, как части уложены.

Подробнее — в теме «Измерение отрезков».

Задача 4

Условие (кратко)

Прямоугольник сложили из n квадратов (n — натуральное число, больше 1) с периметром 8 см каждый. Найдите площадь и периметр прямоугольника.

Решение

Дано

$$n$$ квадратов с периметром 8 см
$$n > 1$$

Найти

$$S$$ и $$P$$ прямоугольника

Сторона квадрата 2 см, площадь квадрата 4 см², поэтому при любом способе сложения $$S = 4n$$ см².

Если квадраты положены в один ряд, стороны прямоугольника 2 см и $$2n$$ см: $S = 2 \cdot 2n = 4n$ см², $$P = 2(2 + 2n) = 4n + 4$$ см.

Если $$n$$ можно разложить на множители, $n = k \cdot l$ , квадраты можно уложить в $$k$$ рядов по $$l$$ штук: стороны $$2k$$ и $$2l$$ см, $$S = 4kl = 4n$$ см², $$P = 2(2k + 2l) = 4(k + l)$$ см. Например, при $$n = 4$$ и $$k = l = 2$$ получаем $$P = 16$$ см, как в пункте в).

Проверка формулы ряда по пунктам а)–в): $$n = 2$$ — 12 см, $$n = 3$$ — 16 см, $$n = 4$$ — 20 см.

Ответ

S = 4n см²; в один ряд P = 4n + 4 см, при k рядах по l квадратов P = 4(k + l) см

Почему так

Площадь равна сумме площадей квадратов, а периметр находят по сторонам прямоугольника, которые зависят от укладки.

Подробнее — в теме «Измерение отрезков».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-7-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-1/upr-91/