Задача 1
Основание равнобедренного треугольника 8 см. Медиана к боковой стороне делит его на два треугольника, периметр одного на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = BC = x\)
- основание \(AC = 8\) см
- \(AM\) — медиана к боковой стороне \(BC\); периметры треугольников \(ABM\) и \(AMC\) отличаются на 2 см
- \(x\)
-
\(M\) — середина \(BC\), поэтому \(BM = MC = \dfrac{x}{2}\).
-
Периметры: \(P_{ABM} = AB + BM + AM = x + \dfrac{x}{2} + AM\), \(P_{AMC} = AC + MC + AM = 8 + \dfrac{x}{2} + AM\).
-
Отрезки \(AM\) и \(\dfrac{x}{2}\) входят в оба периметра, поэтому разность периметров равна разности сторон \(AB\) и \(AC\): \(|x - 8| = 2\).
-
Возможны два случая: \(x - 8 = 2\), тогда \(x = 10\) см (больше периметр \(ABM\)); \(8 - x = 2\), тогда \(x = 6\) см (больше периметр \(AMC\)).
Оба треугольника существуют: со сторонами 10, 10, 8 см и 6, 6, 8 см.
Ответ
Медиана и половинки боковой стороны входят в оба периметра, поэтому периметры отличаются ровно на разность боковой стороны и основания.
Подробнее — в теме «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника».