Где лежит основание высоты, проведённой из вершины острого угла тупоугольного треугольника?

На продолжении противоположной стороны

На середине противоположной стороны

Внутри противоположной стороны

В вершине тупого угла

Какие утверждения верны для любого треугольника?

Три медианы пересекаются в одной точке

Три биссектрисы пересекаются в одной точке

Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке

Медиана всегда является и высотой

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Перпендикуляр к прямой

Коротко о главном

Из каждой вершины треугольника можно провести три особых отрезка к противоположной стороне. Медиана ведёт в середину стороны, биссектриса делит угол пополам, высота — перпендикуляр к прямой, содержащей сторону. У каждого треугольника по три медианы, биссектрисы и высоты.

AM:\ BM = MC \qquad AL:\ \angle BAL = \angle LAC \qquad AH:\ AH \perp BC

Подробное объяснение

Возьмите треугольный кусок картона. Где его можно уравновесить на кончике карандаша? Оказывается, в точке пересечения медиан. А чтобы вырезать из картона самый большой круг, нужна точка пересечения биссектрис. Эти три вида отрезков — главные «внутренние линии» треугольника.

Медиана

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Если $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$ , то $$M$$ — середина $$BC$$ , то есть $$BM = MC$$ . Чтобы провести медиану, измерьте сторону линейкой, отметьте середину и соедините её с вершиной.

Биссектриса

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до точки противоположной стороны. Если $$AL$$ — биссектриса, то $\angle BAL = \angle LAC$ . Обратите внимание: биссектриса угла — это луч, а биссектриса треугольника — отрезок, он заканчивается на стороне. Провести её можно транспортиром: измерьте угол и отложите половину.

Высота

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Если $$AH$$ — высота, то $AH \perp BC$ .

Важно слово «прямой, содержащей сторону». В остроугольном треугольнике все высоты падают на сами стороны. В прямоугольном две высоты — это катеты. А в тупоугольном треугольнике высоты из вершин острых углов падают на продолжения сторон, за пределы треугольника.

Тупоугольный треугольник ABC с тупым углом B. Сторона CB продлена за точку B пунктиром, высота AH опущена из вершины A на это продолжение, основание H лежит вне треугольника. — Высоту проводят к прямой, содержащей сторону, поэтому её основание может оказаться на продолжении стороны.

Замечательные свойства

У любого треугольника:

три медианы пересекаются в одной точке;
три биссектрисы пересекаются в одной точке;
три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Эти утверждения докажут позже, в 8 классе, а пока их можно проверить аккуратным чертежом. Если на вашем рисунке три медианы образовали маленький треугольник вместо точки, значит, середины сторон отмечены неточно: перемерьте стороны и проведите медианы заново.

Как решать задачи

Прочитайте, какой отрезок дан, и запишите, что он даёт: медиана — два равных отрезка стороны, биссектриса — два равных угла, высота — прямые углы.
Отметьте это на чертеже: штрихи на равных отрезках, дуги на равных углах, значок прямого угла.
Ищите равные треугольники: медиана, продлённая на свою длину, часто даёт пару равных треугольников с вертикальными углами.
В задачах на периметры частей обратите внимание на общие отрезки — при вычитании периметров они сокращаются.

Разобранные примеры

База

Сторона по медиане

Условие

$$KN$$ — медиана треугольника $$KPR$$ , $$PN = 4{,}5$$ см. Найдите сторону $$PR$$ .

Дано

$$KN$$ — медиана
$$PN = 4{,}5$$ см

Найти

$$PR$$

Решение

Медиана $$KN$$ проведена к стороне $$PR$$ , точка $$N$$ — её середина. Поэтому $PR = 2 \cdot PN = 2 \cdot 4{,}5 = 9$ см.

Ответ: PR = 9 см

Средний

Угол между биссектрисой и высотой

Условие

В треугольнике $$ABC$$ из вершины $$B$$ проведены высота $$BH$$ и биссектриса $$BL$$ , точка $$L$$ лежит между $$H$$ и $$C$$ . Известно, что $\angle ABC = 80^\circ$ , $\angle ABH = 30^\circ$ . Найдите угол $$HBL$$ .

Дано

$$BH$$ — высота
$$BL$$ — биссектриса
$\angle ABC = 80^\circ$
$\angle ABH = 30^\circ$

Найти

$\angle HBL$

Решение

Биссектриса делит угол $$B$$ пополам: $\angle ABL = 80^\circ : 2 = 40^\circ$ . Луч $$BH$$ лежит внутри угла $$ABL$$ , поэтому $\angle HBL = \angle ABL - \angle ABH = 40^\circ - 30^\circ = 10^\circ$ .

Ответ: ∠HBL = 10°

Типичные ошибки

Путают медиану и биссектрису

Почему неверно

Медиана делит пополам сторону, биссектриса — угол. В обычном треугольнике это разные отрезки: биссектриса угла $$A$$ попадает в середину $$BC$$ только в особом случае.

Как правильно

Запомните: медиана ведёт в середину стороны, биссектриса «рассекает» угол пополам. В решении всегда пишите, что именно следует: « $$AM$$ — медиана, поэтому $$BM = MC$$ ».

Проводят высоту тупоугольного треугольника «внутрь», к самой стороне

Почему неверно

Из вершины острого угла тупоугольного треугольника перпендикуляр к самой стороне не попадает — он попадает на её продолжение.

Как правильно

Продлите сторону за вершину тупого угла и опустите перпендикуляр на эту прямую. Основание высоты окажется вне треугольника — это нормально.

Рисуют биссектрису треугольника лучом

Почему неверно

Луч — это биссектриса угла. Биссектриса треугольника — отрезок, у неё есть второй конец на противоположной стороне.

Как правильно

Доводите биссектрису ровно до стороны и обозначайте точку пересечения буквой: $$AL$$ , $$BB_1$$ и т. п.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

$$BM$$ — медиана треугольника $$ABC$$ , $$AC = 14$$ см. Найдите $$AM$$ .

Подсказка

Медиана делит противоположную сторону пополам.

Решение

Медиана $$BM$$ соединяет вершину $$B$$ с серединой $$M$$ стороны $$AC$$ , поэтому $AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$ см.

Ответ

AM = 7 см

База Задача 2

$$AL$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$ , $\angle BAL = 32^\circ$ . Найдите угол $$BAC$$ .

Подсказка

Биссектриса делит угол пополам.

Решение

Биссектриса делит угол $$BAC$$ на два равных угла, $\angle BAL = \angle LAC = 32^\circ$ . Значит, $\angle BAC = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$ .

Ответ

∠BAC = 64°

Средний Задача 3

$$CM$$ — медиана треугольника $$ABC$$ . Периметр треугольника $$ACM$$ равен 30 см, периметр треугольника $$BCM$$ — 34 см. На сколько сантиметров сторона $$BC$$ длиннее стороны $$AC$$ ?

Подсказка

Сравните, из каких отрезков состоят оба периметра.

Решение

$P_{BCM} = BC + CM + MB$ , $P_{ACM} = AC + CM + MA$ . Отрезок $$CM$$ общий, а $$MA = MB$$ , так как $$M$$ — середина $$AB$$ . Поэтому разность периметров равна разности сторон: $$BC - AC = 34 - 30 = 4$$ см.

Ответ

На 4 см

Средний Задача 4

$$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$ , $\angle CAD = 27^\circ$ . Найдите угол, смежный с углом $$BAC$$ .

Подсказка

Сначала найдите весь угол $$BAC$$ .

Решение

$\angle BAC = 2 \cdot 27^\circ = 54^\circ$ , так как $$AD$$ — биссектриса. Смежный угол равен $180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$ .

Ответ

126°

Сложный Задача 5

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой. Какие отрезки являются высотами треугольника и в какой точке они пересекаются?

Подсказка

Чему перпендикулярен катет $$AC$$ ?

Решение

Так как $\angle C = 90^\circ$ , то $AC \perp BC$ . Значит, $$AC$$ — перпендикуляр из вершины $$A$$ к прямой $$BC$$ , то есть высота. Так же $$BC$$ — высота из вершины $$B$$ . Третья высота $$CH$$ проведена из $$C$$ к прямой $$AB$$ . Все три высоты проходят через точку $$C$$ — там они и пересекаются.

Ответ

Высоты — AC, BC и CH (перпендикуляр из C к AB); они пересекаются в вершине C

Сложный Задача 6

Медиану $$AM$$ треугольника $$ABC$$ продлили за точку $$M$$ на отрезок $$MD = AM$$ . Докажите, что $$AB = CD$$ и $$AC = BD$$ .

Подсказка

Найдите две пары равных треугольников с общей вершиной $$M$$ .

Решение

$$BM = MC$$ , так как $$AM$$ — медиана, и $$AM = MD$$ по построению. Углы $$AMB$$ и $$DMC$$ вертикальные, поэтому $\triangle AMB = \triangle DMC$ по первому признаку и $$AB = DC$$ . Так же углы $$AMC$$ и $$DMB$$ вертикальные, $\triangle AMC = \triangle DMB$ и $$AC = DB$$ .

Ответ

Утверждение доказано — AB = CD и AC = BD

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Вырежьте из бумаги треугольник. Медиану получите, сложив сторону пополам (совместив её концы) и соединив сгиб с противоположной вершиной. Биссектрису — сложив лист так, чтобы совпали две стороны угла. Высоту — сложив сторону саму на себя так, чтобы сгиб прошёл через вершину. Сделайте все три вида сгибов и убедитесь, что три одинаковых сгиба пересекаются в одной точке.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем медиана отличается от биссектрисы? 2) Может ли высота лежать вне треугольника? 3) Какие высоты у прямоугольного треугольника?

На что обратить внимание. Чертежи должны быть аккуратными: острый, прямоугольный и тупоугольный треугольники стоит нарисовать отдельно. На каждом отрезке — пометка: штрихи на половинках стороны, дуги на половинках угла, значок прямого угла.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 17	106, 107, 108, 111, 119