Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе II, задание 166

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ медианы AM и A₁M₁ равны, BC = B₁C₁ и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Решение

Дано: $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы, $$AM = A_1M_1$$ , $$BC = B_1C_1$$ , $\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$ . Доказать: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

$$M$$ и $$M_1$$ — середины $$BC$$ и $$B_1C_1$$ , поэтому $BM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{B_1C_1}{2} = B_1M_1$ .
В треугольниках $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ : $$AM = A_1M_1$$ , $$BM = B_1M_1$$ , $\angle AMB = \angle A_1M_1B_1$ . По первому признаку $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$ , откуда $$AB = A_1B_1$$ и $\angle B = \angle B_1$ .
В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ : $$AB = A_1B_1$$ , $$BC = B_1C_1$$ , $\angle B = \angle B_1$ . По первому признаку $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ .

Ответ

Утверждение доказано, треугольники равны по первому признаку

Почему так

Сначала по первому признаку равны половинки ABM и A₁B₁M₁, это даёт AB = A₁B₁ и ∠B = ∠B₁, затем снова первый признак.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).